Combinaciones

en Sí se repiten los elementos. 8. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas. Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.
9. Una mesa presidencial está formada porocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que: Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.
10. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química secolocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:
1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
11. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?
Combinaciones
También haydos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno enuno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
• imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
• después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellasson iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
|El orden importa |El orden no importa |
|1 2 3 |1 2 3 |
|1 3 2 | |
|2 1 3 | |
|2 3 1 | |
|3 1 2 | |
|3 2 1 | |
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se puedenordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe congrandes paréntesis, así: |
|donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ||ellas |
|(No se puede repetir, el orden no importa) |Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
|16! |= |16! |= |20,922,789,888,000 |= 560 ||3!(16-3)! | |3!×13! | |6×6,227,020,800 | |
O lo puedes hacer así:
|16×15×14 |= |3360 |= 560 |
|3×2×1 | |6 | |
Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
|16! |= |16!|= |16! |= 560 |
|3!(16-3)! | |13!(16-13)! | |3!×13! | |
Combinaciones con repetición
OK, ahora vamos con este...
| |Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas |
| |variaciones hay? |
| |Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son |
| |{c, c, c} (3 de chocolate) |
| |{b, l, v}...