Complejos

Unidad 1: N´umeros Complejos
1.1

Introducci´
on

Adem´as de los conjuntos de n´
umeros naturales, enteros, racionales y reales existe el conjunto de n´
umeros
complejos que juegan un rol importante no solo en matem´aticas sino en las ciencias en general. La primera
aplicaci´on matem´atica que tienen estos n´
umeros es que sirven para resolver la siguiente ecuaci´on1
x2 = −1.

(1)

´
Babilonios,Griegos y Arabes
consideraban imposible la soluci´on de ´este problema. El primer indicio de soluci´
on
surgi´o con Girolamo Cardano (1501-1576) y Tartaglia (1499-1557). A partir de entonces y durante varios siglos,
los matem´aticos trabajaron con n´
umeros complejos sin confirmar su existencia. Actualmente son muy utilizados
en las aplicaciones pr´
acticas como en las corrientes el´ectricas y enla f´ısica subat´omica.
Sabemos que esta ecuaci´
on no tiene soluci´on real, ya que cualquier n´
umero real elevado al cuadrado es no
negativo. Para resolver la ecuaci´
on (1) introduciremos la unidad imaginaria, denotada por ”i”, con la siguiente
propiedad
i2 = −1,
como su cuadrado es negativo, la letra ”i” no representa un n´
umero real.
El sistema num´erico que result´
o al introducir la unidadimaginaria, se llama conjunto de n´
umeros complejos.

1.2

Forma bin´
omica o can´
onica

Definici´
on 1 Sean a y b n´
umeros reales, definimos el n´
umero complejo z como
donde i2 = −1.

z = a + b i,

´
Esta
es la forma bin´
omica o can´
onica del n´
umero complejo z. El conjunto de n´
umeros complejos se lo
denota por C.
Notamos que si z = a + b i y b = 0 entonces el n´
umero complejo essimplemente un n´
umero real. Es decir,
que cualquier n´
umero real x, se lo puede ver o mirar como un n´
umero complejo de la forma z = x + 0 i. Esto
nos dice que el conjunto de n´
umero complejos contiene al conjunto de n´
umeros reales. Por esto decimos que a
es la parte real y b la parte imaginaria del n´
umero complejo a + b i.
La igualdad, suma, resta y multiplicaci´
on de n´
umeros complejos,est´an definidas de modo que se conservan
las reglas del ´algebra de n´
umeros reales. Esto es:
Definici´
on 2 Dos n´
umeros complejos z = a + b i y w = c + d i son iguales cuando tienen la misma parte
real e imaginaria, es decir
z = w cuando a = c y b = d.
1.2.1

Operaciones entre n´
umeros complejos

Producto por un real k :
Definici´
on 3 Dado un n´
umero complejo a + b i y un n´
umero real kentonces
k (a + b i) = ka + (kb) i.
Ejemplo 1 Dado z = 2 − 3 i, calcular
1. (−2) z = (−2) 2 + ((−2) (−3)) i = −4 + 6 i.
2.
1

1
1
1
1
3
z = (2 − 3 i) = 2 + (−3) i = 1 − i.
2
2
2
2
2

Ver la soluci´
on en Ejemplo 18, al final de la unidad.

1

´
Algebra
2013, segundo cuatrimestre

Suma:
Definici´
on 4 Si z = a + b i y w = c + d i son dos n´
umeros complejos entonces
z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a+ c) + (b + d) i.
Resta:
Definici´
on 5 Si z = a + b i y w = c + d i son dos n´
umeros complejos entonces
z − w = (a − c) + (b − d) i.
Observaci´
on. La resta de dos n´
umeros complejos se puede definir en forma similar al de n´
umeros reales, es
decir
z − w = z + (−1)w
(−1) w se lo denomina el opuesto de w.
Observaci´
on. Todas las operaciones (suma, producto, producto y cociente) de n´
umeroscomplejos cumplen
propiedades an´alogas a las correspondientes en n´
umeros reales, por ejemplo: asociativa, conmutativa, distributiva, etc.
Ejemplo 2 Calcular:
1. (2 − 3i) + (−1 + 4i) = (2 − 1) + (−3 + 4) i = 1 + 1i = 1 + i.
2. (2 − 3i) − (−1 + 4i) = (2 − (−1)) + (−3 − 4) i = (2 + 1) + (−7) i = 3 − 7i.
Multiplicaci´
on o producto:
Definici´
on 6 Si z = a + b i y w = c + d i son dos n´
umeroscomplejos entonces el producto es:
z w = (a + b i) (c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i.
Observaci´
on. Para multiplicar dos n´
umeros complejos podemos usar la definici´on anterior o la propiedad
distributiva y que i2 = −1, como lo muestra los ejemplos siguientes.
Ejemplo 3
1. Resolver usando la definici´
on del producto de complejos:
(2 − 3i) (−1 + 4i) = (2 (−1) − (−3) 4) + ((2) 4 + (−3) (−1)) i =...