conjuntos

Conjunto

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetosconsiderada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras,figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elementoo miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores delarcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil,Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, perocambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales esinfinito, pero el conjunto de losplanetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse medianteoperaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal,apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a lateoría de conjuntos.
Historia
El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse enmatemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.2 Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones deequivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a serdeterminante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde seespecifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.
Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:
B = {verde, blanco, rojo}
C = {a, e, i , o, u}
Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de formaintensiva mediante una propiedad:
A = {Números naturales menores que 5}
D = {Palos de la baraja francesa}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}
D = {p : p es un palo de la baraja francesa}
F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,
En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto...