Conjuntos

Apuntes de
Teor´ıa de Conjuntos
por Enrique Arrondo(∗)

Versi´
on del 20 de Marzo de 2012
Estas notas est´
an basadas en el libro “Introduction to Set Theory”, de Karel Hrbacek y Thomas Jech,
donde el lector puede profundizar en los detalles (se recomienda vivamente la tercera edici´
on, que mejora y
completa sustancialmente la segunda). Agradezco a los distintos alumnos de losdistintos cursos todas las
sugerencias y erratas que me han indicado para mejorar la presentaci´
on de estas notas. Quiero agradecer
muy especialmente a Luc´ıa Mart´ın Reyes y Ricardo Laorga Su´
arez por pasarme listas sistem´
aticas de
erratas y sugerencias.

1. Primeros axiomas y propiedades
2. Los n´
umeros naturales
3. Sistemas de n´
umeros
4. Comparabilidad de conjuntos
5. N´
umerosordinales e inducci´on transfinita
6. Aritm´etica de ordinales
7. Cardinales y el Axioma de Elecci´on
8. Aritm´etica de cardinales y u
´ltimos axiomas

´
Departamento de Algebra,
Facultad de Ciencias Matem´aticas, Universidad Complutense de Madrid, 28040 Madrid, arrondo@mat.ucm.es
(∗)

1

1. Primeros axiomas y propiedades
En la Matem´
atica actual, cualquier teor´ıa se basafuertemente en el uso de los conjuntos. Sin embargo, no est´
a claro c´omo definir un conjunto. Un conjunto deber´ıa ser una
colecci´on de objetos (llamados elementos) caracterizados por una propiedad com´
un. En
concreto, fijemos primero la siguiente:
Notaci´
on. Dada una colecci´
on de elementos X, si x es un elemento de X escribiremos
x ∈ X, mientrar que si no lo es escribiremos x ∈ X. Si P esuna propiedad, indicaremos
por P (x) el hecho de que P sea cierta para el elemento x.
Con esta notaci´
on, un conjunto deber´ıa ser una colecci´on de elementos X tales que
exista un propiedad P de modo que x ∈ X si y s´olo si P (x). Sin embargo ¿puede darse
cualquier propiedad para caracterizar un conjunto? El siguiente ejemplo muestra que no
se puede hacer de cualquier modo:
Ejemplo 1.1(Paradoja de Russell(∗) ). Sea X el conjunto de todos los conjuntos que no
se contienen a s´ı mismos como elementos. Al ser X un conjunto, podemos preguntarnos
si se contiene a s´ı mismo como elemento. Si X se contiene como elemento, entonces por la
definici´on de X se puede decir que X no es un elemento de X, lo que es una contradicci´
on.
Si, por el contrario, X no se contiene como elemento,entonces la definici´on de X nos dice
que X est´
a en X, lo que de nuevo es una contradicci´on.
La paradoja de Russell indica que no cualquier propiedad sirve para definir un conjunto, o m´
as bien que no podemos llamar conjunto a cualquier cosa. Lo que vamos a hacer
es ir dando a lo largo del curso una serie de axiomas (los llamados Axiomas de ZermeloFrenkel) que debe satisfacer lo quequeramos llamar conjunto (de hecho, este curso deber´ıa
ser paralelo a uno de L´
ogica que demostrara que el sistema de axiomas que vamos a imponer es coherente). Iremos introduciendo los axiomas a medida que los necesitemos. De
hecho, no es que al final de curso podamos dar una definici´on precisa de conjunto (incluso
mencionaremos ciertas hip´
otesis que tanto su afirmaci´on como su negaci´on soncompatibles
con nuestros axiomas), pero al menos habremos reconstruido a trav´es de nuestros axiomas
los conjuntos b´
asicos en Matem´
aticas (empezando por los naturales, racionales, reales,...).
Empezamos por un par de axiomas, el primero afirmando la existencia de conjuntos
vac´ıos.
Axioma de Existencia. Existe un conjunto sin elementos.
El segundo axioma equivale a la t´ıpicademostraci´on de la igualdad de dos conjuntos
mediante el “doble contenido”:
(∗)

La paradoja original era sobre el barbero de un pueblo que afeitaba a todos los del pueblo que no se

afeitaban a s´ı mismos: ¿Se afeita entonces el barbero a s´ı mismo?

2

Axioma de Extensionalidad. Si cada elemento de X es un elemento de Y y cada
elemento de Y es un elemento de X, entonces X = Y .
Este...