Conjuntos

Matem´tica Discreta - IIC 2252 a Clase 2 - Leyes de la Teor´ de Conjuntos. ıa Relaciones
Luis Dissett V.

1

Las Leyes de la Teor´ de Conjuntos ıa
Ley del doble complemento (Ac )c Leyes de deMorgan (A ∪ B)c (A ∩ B)c = = Ac ∩ B c . Ac ∪ B c . = A.

Propiedades conmutativas A∪B A∩B
2

= =

B ∪ A. B ∩ A.

Propiedades asociativas A ∪ (B ∪ C) = A ∩ (B ∩ C) = Propiedades distributivasA ∪ (B ∩ C) = A ∩ (B ∪ C) = Propiedades de idempotencia A∪A A∩A Propiedades de elemento neutro A∪∅ A∩U
3

(A ∪ B) ∪ C. (A ∩ B) ∩ C.

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C). (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

= =

A. A.

= =A. A.

Propiedades de elemento inverso A ∪ Ac A ∩ Ac Propiedades de dominaci´n o A∪U A∩∅ Propiedades de absorci´n o A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A. A. = = U. ∅. = = U. ∅.

4

Operacionesgeneralizadas
Sea A un conjunto cualquiera. Definici´n. o • • A = {x : ∃y ∈ A(x ∈ y)}. A = {x : ∀y ∈ A(x ∈ y)}.

5

Operaciones con conjuntos de ´ ındices
Sea I un conjunto de ´ ındices, de modoque para cada i ∈ I existe un unico Ai . ´ Definici´n. o •
i∈I

Ai = {x : ∃i ∈ I(x ∈ Ai )}. Ai = {x : ∀i ∈ I(x ∈ Ai )}.
i∈I ∞ ∞

•

En particular, si I = N, escribimos
i=0

Ai y
i=0

Ai enlugar de
i∈I

Ai y

Ai .
i∈I

6

Pares ordenados
Nos interesa definir formalmente la noci´n de par ordenado. o Definici´n. Sean a, b ∈ U (nuestro conjunto universo). o Definimos el parordenado (a, b) como (a, b) = {{a} , {a, b}} . Ejercicio. Demuestre que, si a, b, c, d ∈ U, entonces (a, b) = (c, d) ⇐⇒ ((a = c) ∧ (b = d)).

Ejercicio. ¿Se satisfar´ la misma propiedad si hubi´ramosdefinido ıa e (a, b) como (a, b) = {a, {b}}?

7

Producto cartesiano
Sean ahora A y B dos conjuntos cualesquiera. Definimos el producto cartesiano de A y B: Definici´n. o A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.

8

Relaciones binarias
• Una relaci´n (binaria) de A en B es un subconjunto de A × B. o • Una relaci´n (binaria) en A es un subconjunto de A × A. o En este curso estaremos interesados...