Continuidad de un funcion
Páginas: 4 (872 palabras)
Publicado: 10 de julio de 2010
2.3.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”. En la figura2.6., aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio (fig. 2.6. (a) y 2.6. (b)) y la otra (fig. 2.6. (c)) continua en todo su dominio.(a)
(b)
(c) fig. 2.6.
Al mirar con un poco de cuidado las gráficas de la fig. 2.6., se pueden deducir intuitivamente, resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definiciónprecisa de lo que significa: “ser una función continua en un punto dado de su dominio”. En la gráfica de la fig. 2.6. (a) se tiene: i.
Lim − f ( x ) = Lim + f ( x ) = L
x→ a x→ a
Luego, ii.Lim
x→ a
f (x)
existe y es igual a L.
f(a) existe. Pero, Lim
x→ a
f ( x) = L ≠ f (a ) .
Por esta razón, f es discontinua. ¿Qué le sucedería a la gráfica si f(a) fuese igual a L?Para la gráfica de la fig. 2.6. (b) se tiene: i.
Lim − f ( x ) = L 1 ≠ Lim + f ( x ) = L 2 .
x→ a x→ a
En consecuencia, a. ii. f(a) = L1.
Lim f ( x )
x→ a
No existe. Por ello, f esdiscontinua en
Finalmente, para la gráfica de la fig. 2.6. (c) se tiene: i.
Lim + f ( x ) = Lim − f ( x ) = L .
x→ a x→ a
Así, Lim ii.
x→ a
f (x)
existe y es igual a L.
f(a) Existe yes igual a L. En síntesis,
iii.
Lim
x→ a
f ( x) = f (a )
Por tanto, f es continua en a. Estas tres condiciones son las que, en última instancia, permiten deducir intuitivamente que lafunción cuya gráfica aparece en la fig. 2.6. (c) es continua en el punto a. Lo anterior permite establecer la siguiente definición. Definición 2.2 Una función f es CONTÍNUA EN x = a, si y sólo si sesatisfacen las siguientes condiciones:
i. ii. iii.
f(a) existe.
Lim
Lim
x→ a
f (x)
f (x) =
existe.
f (a )
x→ a
Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse,...
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”. En la figura2.6., aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio (fig. 2.6. (a) y 2.6. (b)) y la otra (fig. 2.6. (c)) continua en todo su dominio.(a)
(b)
(c) fig. 2.6.
Al mirar con un poco de cuidado las gráficas de la fig. 2.6., se pueden deducir intuitivamente, resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definiciónprecisa de lo que significa: “ser una función continua en un punto dado de su dominio”. En la gráfica de la fig. 2.6. (a) se tiene: i.
Lim − f ( x ) = Lim + f ( x ) = L
x→ a x→ a
Luego, ii.Lim
x→ a
f (x)
existe y es igual a L.
f(a) existe. Pero, Lim
x→ a
f ( x) = L ≠ f (a ) .
Por esta razón, f es discontinua. ¿Qué le sucedería a la gráfica si f(a) fuese igual a L?Para la gráfica de la fig. 2.6. (b) se tiene: i.
Lim − f ( x ) = L 1 ≠ Lim + f ( x ) = L 2 .
x→ a x→ a
En consecuencia, a. ii. f(a) = L1.
Lim f ( x )
x→ a
No existe. Por ello, f esdiscontinua en
Finalmente, para la gráfica de la fig. 2.6. (c) se tiene: i.
Lim + f ( x ) = Lim − f ( x ) = L .
x→ a x→ a
Así, Lim ii.
x→ a
f (x)
existe y es igual a L.
f(a) Existe yes igual a L. En síntesis,
iii.
Lim
x→ a
f ( x) = f (a )
Por tanto, f es continua en a. Estas tres condiciones son las que, en última instancia, permiten deducir intuitivamente que lafunción cuya gráfica aparece en la fig. 2.6. (c) es continua en el punto a. Lo anterior permite establecer la siguiente definición. Definición 2.2 Una función f es CONTÍNUA EN x = a, si y sólo si sesatisfacen las siguientes condiciones:
i. ii. iii.
f(a) existe.
Lim
Lim
x→ a
f (x)
f (x) =
existe.
f (a )
x→ a
Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse,...
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