convergencias para series

Criterios de convergencia para series.
Para series en general, existen una serie de criterios de convergencia:
•

1.– Primer criterio de comparación.- Si (an) y (bn) son dos sucesiones de números
reales tales que ∃ m ∈ N, tal que 0 ≤ an ≤ bn para todo natural n ≥ m. Entonces, si la
∞

serie

∑

i=1

∞

b i es convergente, la serie

∑

∞

i=1

ai es convergente. Y si laserie

∑

i=1

ai es

∞

divergente, la serie

∑

i=1

•

b i es divergente.

2.- Segundo criterio de comparación.- Si (an) y (bn) son dos sucesiones de números
reales tal que an ≥ 0 y bn> 0 para todo n ∈ N y supongamos que
∞

Entonces, si L ≠ 0, las series

∑

i=1

lim n

∑

i=1

= L ∈ R.

∞

ai y

∑

i=1

b i tiene el mismo carácter.

∞

Si L = 0, yla serie


an
bn

∞

∑

b i es convergente, entonces la serie

i=1

ai también es

convergente.
•

3. - Criterio de la integral.- Si f : [1,+∞)  R es una función decreciente y positiva y,
∞

para cada n ∈ N, se cumple que an = f(n). Entonces, la serie
impropia
•

∫

[1,∞ )

∑

i=1

ai

y la integral

f  x . dx tienen el mismo carácter de convergencia odivergencia.

4. - Criterio del cociente.- Si (an) es una sucesión de números reales, y L =
lim n

 
an1
an

∞

Entonces, si L < 1 la serie

∑

i=1

ai

converge. Y si L >1 la serie

∞

∑

i=1

•

ai diverge.

5.- Criterio de Raabe.- Si (an) es una sucesión de números reales y sea
L=



a
lim n n. 1− n1
an



∞

serie

∑

i=1

ai diverge.

∞Entonces, si L > 1 la serie

∑

i=1

ai

converge. Y si L < 1 la

•

6.- Criterio de la raíz.- Si (an) es una sucesión de números reales no negativos y sea
∞

L=

n
lim n  an . Entonces, si L < 1 la serie

∑

i=1

ai

converge. Y si L > 1 la serie

∞

∑

i=1

ai diverge.
lim n

 Si ∃

 
an1
an

⇒∃

n
lim n  an . Además,

lim n

 
an1an

=

n
lim n  an .

n
Este criterio se puede utilizar para hallar lim n  an hallando el lim n

 
an1
an

# Demostración:
1.- Si a n ≤ b n para todo n ≥ m, entonces las sumas parciales enésimas verifican:
An ≤ Bn

para todo natural n.
∞

Luego, si la serie

∑

i=1

b i es convergente lo es la también la sucesión (Bn), y estará

acotada superiormente, luegotambién lo estará (An), y teniendo en cuenta que (An) es monótona
creciente y acotada, Será:
∞

(An) una sucesión convergente



la serie

∑

i=1

ai es convergente

∞

Y si la serie

∑

i=1

ai es divergente lo será también la sucesión (An), que por ser monótona

creciente, no está acotada superiormente, luego por tanto, tampoco estará acotada superiormente
la sucesión(Bn), y teniendo en cuenta que es monótona creciente y no acotada, será:
∞

(Bn) una sucesión divergente



la serie

∑

i=1

b i es divergente

2.- Si L ≠ 0, ∃ m ∈ N tal que para todo n ≥ m se verifica:
L an
L
 3
2 bn
2
Y por tanto:
L.b n
3.L.bn
an
2
2
Además, si la sucesión de sumas parciales enésimas Bn converge, se cumple

L.b n
2

y

3.L.bn
tambiénconverge, lo que implica que la serie de sumas parciales enésimas An también
2

∞

∑

converge. Luego la serie

i=1

ai es convergente.

∞

∑

Y si la la serie

ai es divergente, como la sucesión An diverge, entonces, las sucesiones

i=1

L.b n
2

3.L.bn
también divergen, lo que implica que Bn también diverge. Luego la serie
2

y

∞

∑

i=1

b i es divergente
∞Luego resulta que las tres series,

∑

i=1

L.bi
,
2

∞

∑

i=1

3.L.bi
2

∞

carácter de convergencia. Y por tanto las series

∑

i=1

∞

y

∑

i=1

ai

tienen el mismo

∞

ai

y

∑

i=1

b i tiene también el mismo

carácter.
Si L = 0, ∃ un m ∈ N tal que para todo n ≥ m se verifica

an
1 y, por tanto, a n < b n y
bn

el resultado se...