A) series convergentes.

A) Series convergentes.
En matemáticas, una serie se llama serie convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo se llama serie divergente.Definición formal.
Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado).
La serie de término general an converge cuandola sucesión  de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,
.
En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales
.
La naturaleza de convergencia ono-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.
Ejemplos:
* Alternar los signos de los recíprocos de los enteros impares produce una serieconvergente (ver Serie de Leibniz):

* Los recíprocos de los números triangulares produce una serie convergente:

* Los recíprocos de los números factoriales produce una serie convergente:

Etc…etc…..

B) Series divergentes.
En matemáticas, una serie divergente es una serie infinita que no converge.
Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Porlo tanto toda serie en la cual los términos individuales no tienden a cero diverge. El ejemplo más simple de una serie divergente cuyos términos se aproximan a cero es la serie armónica

Ladivergencia de la serie armónica fue demostrada en forma elegante por el matemático medieval Nicole Oresme.
A veces es posible asignarle un valor a las series divergentes utilizando un método de sumación.Por ejemplo, la sumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½
.
Teoremas sobre métodos de suma de series divergentes.
Propiedades de los métodos de sumacion.
Si A es unafunción que le asigna un valor a una sucesión, es conveniente que posea ciertas propiedades si es que se pretende que sea un método de sumación útil.
. Un método es regular si, toda vez que la...