Covarianza

Covarianza
La covarianza de una variable bidimensional es la media aritmética de los
productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias
respectivas.
La covarianza se representa por s xy o σ xy .

La covarianza indica el sentido de la correlación entre las variables
Si σ xy > 0 la correlación es directa.
Si σ xy < 0 la correlación es inversa.
La covarianza presentacomo inconveniente, el hecho de que su valor depende de
la escala elegida para los ejes.
Es decir, la covarianza variará si expresamos la altura en metros o en
centímetros. También variará si el dinero lo expresamos en euros o en dólares.
Ejemplos
Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:
Matemáticas
2 3 4 4 5 6 6 7 7 8
10
10
Física
1 3
Hallar la covarianza dela distribución.
xi

yi

xi · yi

2

1

2

3

3

9

4

2

8

4

4

16

5

4

20

6

4

24

6

6

36

7

4

28

7

6

42

8

7

56

10

9

90

10

10

100

72

60

431

2

4

4

4

6

4

6

7

9

10

1

Después de tabular los datos hallamos las medias aritméticas:

La covarianza será entonces:

Correlación
La correlación trata de establecer la relación o dependencia que existe entre las
dosvariables que intervienen en una distribución bidimensional.
Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los
cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están
correlacionadas o que hay correlación entre ellas.
Tipos de correlación
1º Correlación directa
La correlación directa se da cuando al aumentar una de las variables la otra
aumenta.
La rectacorrespondiente a la nube de puntos de la distribución es una recta
creciente.

2º Correlación inversa
La correlación inversa se da cuando al aumentar una de las variables la otra
disminuye.
La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribución es una recta
decreciente.

2

3º Correlación nula
La correlación nula se da cuando no hay dependencia de ningún tipo entre las
variables.
En estecaso se dice que las variables son incorreladas y la nube de puntos tiene
una forma redondeada.

Grado de correlación
El grado de correlación indica la proximidad que hay entre los puntos de la
nube de puntos. Se pueden dar tres tipos:
1. Correlación fuerte
La correlación será fuerte cuanto más cerca estén los puntos de la recta.

2. Correlación débil
La correlación será débil cuanto más separadosestén los puntos de la recta.

3

El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el
producto de las desviaciones típicas de ambas variables.
El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r.

Propiedades del coeficiente de correlación
1. El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición.
Es decir, si expresamos la altura en metroso en centímetros el
coeficiente de correlación no varía.
2. El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de
la covarianza.
Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.
Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.
Si la covarianza es nula, no existe correlación.
3. El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido
entre −1 y 1.
−1 ≤ r ≤ 1
4.Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a −1 la
correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se
aproxime r a −1.
5. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la
correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se
aproxime r a 1.
6. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la
correlaciónes débil.
7. Si r = 1 ó −1, los puntos de la nube están sobre la recta creciente o
decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.
Ejemplos
Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las
siguientes:
Matemáticas
2 3 4 4 5 6 6 7 7 8
10
Física

1

3

2

4

4

4

6

4

6

7

9

4

10
10

Hallar el coeficiente de correlación de la distribución e interpretarlo....