Criterio de estabilidad de nyquist

Sistemas de Control Control Automático

UTN-FRBA

Criterio de Nyquist Estabilidad de Sistemas

Criterio de Estabilidad de Nyquist- Aplicación al análisis de la Estabilidad de Sistemas de Control continuos y LTI.
1. Prefacio. La experiencia de los últimos años, en relación con la comprensión del análisis de la Estabilidad de los Sistemas de Control y su aplicación a la resolución deproblemas, empleando el Criterio General de Nyquist, pone de manifiesto que los estudiantes del quinto nivel de las carreras de Electrónica y Eléctrica en la UTN-FRBA/FRH, que reciben el primer curso de Control, tienen muchas dificultades para comprender cabalmente el tema de referencia. Las razones de tales dificultades radican fundamentalmente en: • Inadecuado manejo, por parte de los estudiantes, dela Respuesta en frecuencia de Sistemas dinámicos continuos y LTI. Dificultades, por parte de los estudiantes, con Álgebra de números complejos (Cociente, producto, potencia, Fórmula de Euler, etc.). Dificultades, por parte de los estudiantes, con la Representación Conforme y su fluido manejo, sobre todo, para funciones que se expresan por un cociente de polinomios en la variable compleja s = σ + jω, y aplicación del teorema del argumento (Cauchy). Dificultades por parte de los estudiantes para integrar los conocimientos recibidos en Ciencias Básicas, Tecnologías Básicas y Tecnologías Aplicadas.

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Ante este panorama, hemos decidido escribir estas notas, que no pretenden suplir la extensa y excelente bibliografía existente sobre el tema, sino más bien darle un enfoque desdeel punto de vista de la Ingeniería de Control, remarcando los aspectos conceptuales básicos y fundamentales para que los estudiantes comprendan los conceptos y puedan aplicarlos, sin grandes dificultades, a la resolución de problemas concretos de Control, que se plantean en las Cátedras de Sistemas de Control en ingeniería Electrónica y en la Cátedra de Control Automático de ingeniería Eléctrica.Como veremos en su momento, los problemas de estabilidad mediante Nyquist se pueden resolver utilizando MATLAB, no obstante, en esta etapa preferimos que los estudiantes utilicen las expresiones matemáticas correspondientes, a los efectos de lograr una adecuada comprensión de la teoría y de los conceptos fundamentales sobre el tema. Agradecemos a las autoridades de los departamentos de Electrónicay Eléctrica de la UTN-FRBA/FRH, por el constante aliento y apoyo para que podamos difundir los conocimientos básicos fundamentales, relacionados con la Ingeniería de Control. También agradecemos a los Profesores de la Cátedra por sus valiosos comentarios y sugerencias.

Ing. A.M.Mariani

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Año 2007

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2. Correspondencia entre un contorno argumento (Cauchy). •

cerrado en el plano complejo

s = σ + jω , con su contorno imagen en el plano G ( s ) . Teorema del
Considérese un modelo de primer orden, dado por la función transferencia de un sistema continuo y LTI dada por la (1):

G (s) =

1 s +1

(1)

La función transferencia (1) tiene un polo en s = −1 , y se puederepresentar gráficamente como se muestra en la figura 1. En dicha figura se considera, además, un contorno cerrado como el ABCDEFGH, que no contiene al polo s = −1 .

Fig.1. Plano s y contorno cerrado, que no incluye al polo s=-1. Se recorrerá el contorno cerrado en la dirección indicada en la figura 1, dándole valores a la variable s=σ + j ω, en correspondencia con los puntos A, B, C, D, E, F, G y H,del contorno cerrado y, se determinarán los correspondientes puntos en el plano G ( s ) . Punto A: s A = −0.5 + j 0.5

G(s A ) =

1 1 0.5 − j 0.5 = = = 1− j −0.5 + j 0.5 + 1 0.5 + j 0.5 (0.5) 2 + (0.5) 2

Punto B: sB = j 0.5

G ( sB ) =

1 1 1 − j 0.5 = = 2 = 0.8 − j 0.4 j 0.5 + 1 1 + j 0.5 (1) + (0.5)2

Punto C: sC = 0.5 + j 0.5

Ing. A.M.Mariani

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