Curvas Parametricas Y Funciones Vectoriales De Un Parametro

1. Curvas parametricas y funciones vectoriales de un parametro

Con frecuencia consideramos una curva en el plano como una línea trazada sobre un papel, tal como puede ser una línea recta, una curva parabólica o una circunferencia. Nos preguntamos ahora, ¿como podemos describir (analíticamente) una curva en el plano?Es evidente que debemos indicar de alguna manera los puntos por donde pasa, lospuntos que forman la curva.
En algunos casos, podemos usar para ello las coordenadas cartesianas de los puntos P(x, y) de la curva, expresando y como una función de x y = F(x), por ejemplo y = 1 + x 2 ,
o x como una función de y x = G(y), por ejemplo x = cos2 y , o dar una relación entre x e y que defina implícitamente a una variable en términos de la otra H(x, y) = 0, por ejemplo x 2 +y 2 −16 =0 .
Hay curvas que se representan más fácilmente mediante otro sistema de coordenadas [por ejemplo, r = 2 cos θ usando coordenadas polares].
Algunas curvas se describen mejor cuando las coordenadas x e y están dadas en términos de una tercera variable t llamada parámetro [x = f(t) e y = g(t), recordar las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano vistas en la Sección 5.1 de la Guía 1].Podemos, también, indicar cada punto de una curva haciendo uso de la asociación de P con el punto final del vector ~r = −−→OP ubicado en posición canónica. En esta guía discutiremos la forma paramétrica de describir curvas, mediante una representación vectorial.

1.1. Curvas paramétricas
Imaginemos un objeto que se mueve en un plano y, a medida que transcurre el tiempo, describe un camino como elrepresentado por la curva de la Figura 1. Si bien notamos que esta curva no puede ser descripta



por una ecuación de la forma y = F(x) (¿por qué?), sabemos que las coordenadas x e y de la posición de la partícula dependen del instante de tiempo t. Por lo tanto existirán funciones f y g de la variable (o parámetro) t, tales que x = f(t) e y = g(t). Este par de ecuaciones, que muchas veces es unaforma conveniente para describir una curva, se llama ecuaciones paramétricas de la curva en el plano:
x = f(t)
y = g(t)

Cada valor de t determina un punto (x, y) en el plano. Cuando t varia (en un intervalo de números reales), el punto (x, y) = (f(t), g(t)) se mueve generando una curva en el plano.

----------------------------------------------------------------






Geometría de curvas ysuperficies
La geometría diferencial de curvas y superficies o geometría diferencial de Gauss, trata del estudio de curvas y superficies, e incluso objetos de más dimensiones denominados variedades.
Básicamente, el método consiste en describir las curvas o superficies a estudiar con una función vectorial de unos parámetros, que hacen que un vector se mueva sobre dicha curva al variar el parámetro deforma local.
Hay que tener en cuenta que esto solo es necesario de forma local. Tal y como está expresado el enunciado, puede inducir a pensar que la Geometría Diferencial describe las superficies como una función vectorial de dos parámetros. Esto es falso, puesto que ha de definirse una función vectorial de dos parámetros sobre un abierto para cada punto de la superficie, pudiendo darse el caso enque distintos puntos deban ser representados por funciones distintas sobre abiertos distintos.
Otro matiz que debe hacerse a la anterior afirmación es el carácter diferenciable de estas funciones, que es lo que distinguiría el estudio de curvas, superficies y variedades que hace la geometría diferencial del que hace la Topología.---------------------------------------------------------------------
Superficie (matemática)
Para otros usos de este término, véase superficie (desambiguación).




Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima bien por el plano tangente a...