algunas curvas parametricas

Cisoide de Diocles
En la geometría, la cisoide de Diocles es una curva plana cúbico notable por la propiedad de que se puede utilizar para construir dos medias proporcionales a una relación dada. En particular, se puede utilizar para duplicar un cubo. Se puede definir como la cisoide de un círculo y una línea tangente a la misma con respecto al punto en el círculo opuesto al punto de tangencia.La cisoide de Diocles es la cisoide generada por el vector posición de una recta paralela al eje OY (Curva 1), que pasa por el punto (2a,0), al que se le resta el radio vector de una circunferencia de radio a y centro en (0,a) (Curva 2).
Historia

Diocles fue un matemático griego que ideó esta curva con el objetivo de resolver el problema de la duplicación del cubo.
Construyó la curvalimitándose a los puntos interiores al círculo. Completando este arco de la curva con la semicircunferencia, se obtiene una forma parecida a una hoja de hiedra, de donde le viene el nombre de cisoide.
Ecuaciones
Su ecuación cartesiana es:

La ecuaciones paramétricas es:
x = a sen2 q
y = a sen3 q /cos q




Curva de lissajous:
En matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida comofigura de Lissajous o curva de Bowdicht, es la gráfica del sistema de ecuaciones paramétricas que describe el movimiento armónico complejo: Esta familia de curvas fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815 y después, con mayores detalles, por Jules Antoine Lissajous. La apariencia de la figura es muy sensible a ratio a/b. Para un ratio de 1, la figura es una elipse, con los casos especiales delcírculo (a = b, d = p/2 radianes) y de las rectas incluidos (d = 0). Otra de las figuras simples de Lissajous es la parábola (a/b = 2, d = p/2). Otros ratios producen curvas más complicadas, las cuales sólo son cerradas si a/b es un número racional.
Historia
Las curvas de Lissajous fueron descubiertas por el físico francés Jules Antoine Lissajous (1822 a 1880). Lissajous estaba interesado enpoder visualizar las vibraciones. Estudió las vibraciones transversales de las láminas elásticas y la composición de varios movimientos vibratorios por un procedimiento óptico. Sus experimentos más famosos implicaron diapasones y espejos. Por ejemplo, uniendo un espejo a un diapasón y enfocando una luz sobre él, Lissajous podía observar, ayudado por otro par de espejos, la luz reflejada que setorcía y daba vuelta en los espejos, al tiempo de las vibraciones del diapasón. Cuando él instaló dos diapasones perpendicularmente, con uno vibrando al doble de la frecuencia del otro, Lissajous encontró que las líneas curvadas en la pantalla se combinaban para dar lugar a una de estas curvas que hoy llevan su nombre.
Las curvas de Lissajous fueron utilizadas para determinar las frecuencias de sonidoso de señales de radio. Estas curvas permiten el estudio de los movimientos vibratorios y, particularmente, la comparación de los sonidos dados por dos instrumentos.  
Ecuación Paramétrica
x= a sen(nt + c),
y = b sen(t)






Curva braquistrocona
Un curva braquistócrona, o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo, por un cuerpo quecomienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. En la solución del problema intervinieron: Johann y Jacobo Bernoulli, Leibniz, L'Hôpital, Newton, Tschirnhaus, entre otros.
Dados dos puntos A y B, con A a una elevación mayor que B,existe solo una curva cicloide con la concavidad hacia arriba que pasa por A con pendiente infinita (dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo), también pasa por B y no posee puntos máximos entre A y B. Esta particular cicloide invertida es una curva braquistócrona. la curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional.
El problema puede ser resuelto...