Curvas Parametricas

ECUACIÓN DE OSCILACIONES
Tomado del texto de Ecuaciones Diferenciales de los Profesores
Norman Mercado
Luis Ignacio Ordoñéz

Muchos de los sistemas de ingeniería están regidos por una ecuación diferencial lineal de segundo orden con
coeficientes constantes, ecuación que recibe el nombre de ecuación de oscilaciones y presenta la forma general:

La ecuación de oscilaciones se puede escribiren su forma normalizada, así:

El amortiguamiento del sistema es:

y se mide en

La frecuencia natural de oscilación es:

y se mide en las mismas unidades:

Tal como se estudió en el capítulo anterior, la solución general de la ecuación diferencial viene dada por:

Dónde:

es un conjunto fundamental de soluciones de la homogénea y

es una solución particular de la

no homogénea.La ecuación característica de la ecuación diferencial es la siguiente:

Las raíces de la ecuación característica viene dadas por:

Tal como se estudió en el capítulo anterior, a partir de las raíces de la ecuación característica se presentan tres
casos, así:
1. Las raíces son reales y diferentes. En este caso se dice que el sistema es sobreamortiguado y la solución general
viene dada por:2. Las raíces son reales e iguales, esto es

. En este caso se dice que el sistema es críticamente

amortiguado y la solución general viene dada por:

Las raíces son complejas conjugadas, esto es
subamortiguado y la solución general viene dada por:

. En este caso se dice que el sistema es

recibe el nombre de seudofrecuencia de oscilación del sistema y se mide en

La cantidad:.

La solución se puede escribir, alternativamente, en la forma:

Donde:

y

Un caso de especial interés es el correspondiente a
, es decir, el sistema no tiene amortiguamiento. En este
caso el sistema es oscilatorio puro y corresponde al conocido movimiento armónico simple. La solución general en
este caso es:

A partir de las condiciones iniciales se determinan las constantes:ó, si se quiere, las constantes

, con lo

que se obtiene la solución del problema de valor inicial. En la solución del problema de valor inicial aparecen dos
partes perfectamente distinguibles, a saber:
1. La respuesta transitoria del sistema. Es la parte de la solución que depende de las condiciones iniciales del
sistema, es decir, es la solución complementaria después de hallar lasconstantes de integración.
2. La respuesta forzada del sistema. Es la solución particular de la ecuación diferencial y recibe diferentes nombres,
entre los cuales destacamos los siguientes: respuesta de estado estacionario, respuesta de régimen permanente.

Respuesta al escalón de un sistema de segundo orden.
Cuando la excitación del sistema es constante a partir del instante

, es decir, laexcitación es de la forma

, la ecuación diferencial es:

En tal caso, para tiempos positivos, la solución particular viene dada por:

En adelante, la respuesta de estado estable la designaremos como:

Para determinar la solución del problema de valor inicial, se parte de la solución general, así:

Sí las condiciones iniciales son

Resolviendo el sistema, resulta:

, las constantes debensatisfacer el sistema de ecuaciones:

Cuando el sistema está inicialmente en reposo, las constantes son:

Ejemplo 3.5.
Resuelva el problema de valor inicial:

Solución.
Con base en lo estudiado, la solución general es:

El Wronskiano de la ecuación diferencial es:

Las constantes de integración son:
En consecuencia, la solución del problema de valor inicial es:

Las figuras: 3.24 y3.25 muestran las gráficas de las variables:

y

para

Una gráfica de especial interés es la que relaciona a la variable dependiente:

.

con su primera derivada con

respecto al tiempo
. Si denotamos por , el plano de fase es la gráfica de: p contra y.
Para el sistema que nos ocupa, debemos eliminar la variable tiempo en las expresiones encontradas, así:

En forma matricial,...