CURVATURAS TRIEDRO DE FRENET

CURVATURAS - TRIEDRO DE FRENET
Curvatura de una curva en un punto

Dada la curva de ecuación y = f (x) y x = a un punto del dominio de f(x) donde la misma admita
derivada 1ra finita y 2da no nula, se define curvatura C de f(x) en x = a, a la variación de ángulo dz
girado por la recta tg a f (x) en x = a debida a la variación infinitesimal de arco ds, o sea:

dz
con d z = elemento infinitesimal deángulo girado por la recta tg a f en a, y
(1)
ds
ds = elemento infinitesimal de arco de curva correspondiente a dz
C

Recordando que f´(a) = y´(a) = tg z

dz 

dy´
1  ( y´) 2



z = arctg y´(a)  diferenciando

y

ds  dx 2  dy 2  dx 2  ( y´dx)2  1  ( y´)2 dx . Es fácil probar que r es un infinitésimo de
orden superior (despreciable), cuando dx tiende a cero, frente a  y, dy, y a dx:y
y
r
y  dy
y  y´dx
 y´ .
lim
 lim
 lim
 lim( dx  1)  0 ya que lim
dx 0 dx
dx 0 dy
dx 0
dx 0
dx 0 y´
y´dx
y´dx

También
Y

r
y  dy
y y´dx
y
 lim
 lim( 
)  lim(  y´)  0
dx 0 dx
dx 0
dx 0 dx
dx 0 dx
dx
dx
lim

r
y  dy
y´dx
y´
y´
 lim
 lim(1 
)  lim(1 
)  lim(1  )  0
dx 0 y
dx 0
dx 0
dx 0
dx 0
y
y
y
y´
dx
lim

Entonces se puede tomar a dy como una buenaaproximación de  y ya que la diferencia entre ambos
r es un infinitésimo de orden superior a los dos. O sea  y  dy. O simplemente pensar que en un
entorno de x = a, el elemento de curva ds puede ser reemplazado por un tramo infinitesimal de recta
tg a f en a.
Reemplazando todo en (1)

C

dy´
1  ( y´) 2
1
2

1  ( y´) 2  dx



dy´
dx
 ( y´) 2 

3
2



y´´
 ( y´) 2 

3
2



1, todas estas derivadas calculadas en x = a.
R

Y llamamos a R = radio de curvatura de f en a.
Si y´´ (a) = 0 (en la ecuación de la recta, por ejemplo, y = m x + b ), la curvatura C = 0, y el radio de
curvatura es infinitamente grande. Cuando en una curva y´´(a) = 0 significa que en ese punto la curva
tiene curvatura nula y radio de curvatura infinito, y se dice que presenta en ese punto unelemento
infinitesimal de recta (elemento de geodésica), pudiendo corresponder a un punto de inflexión, donde
la curva no es ni cóncava (la curva queda por arriba de la recta tg en el punto), ni convexa (la curva
queda por debajo de la recta tg en el punto). La curva es atravesada por la recta tg en el punto.
Cuando la curvatura C de una curva en un punto es muy grande, su radio de curvatura R espequeño.
Ésta curvatura así definida se llama curvatura de flexión.

CÍRCULO OSCULADOR
Sabemos que por 3 puntos no alineados siempre pasa una circunferencia (que circunscribe al
triángulo formado por los 3 puntos), y que el centro de dicha circunferencia se llama circuncentro.
Conceptualmente se dice que 3 puntos consecutivos no alineados de una curva (no quedan definidos
en virtud del axioma de extremosuperior de los reales) determinan el círculo osculador de la curva
en el punto del medio, bien que la curva sea plana o alabeada. Y estos 3 puntos no alineados
determinan 2 rectas que son las 2 tgs consecutivas de la curva, y el ángulo formado por dichas tgs
consecutivas es infinitamente pequeño. La pendiente de la semirrecta tg por izquierda en un punto la
da la derivada lateral izquierda de lafunción en el punto. La pendiente de la semirrecta tg por
derecha la da la derivada lateral derecha de la función en el punto. Cuando ambas derivadas laterales
son iguales, existe recta tg a la función en el punto y el punto de la curva se dice regular. Cuando
ambas derivadas laterales son distintas, no existe derivada de la función en el punto y la curva no
admite recta tg y el punto se denominasingular.
En un punto de inflexión de una curva las 2 tgs consecutivas son absolutamente coincidentes, y la
curva tiene 3 (o mas) puntos consecutivos alineados, o sea un elemento infinitesimal de recta
(elemento de geodésica). En el punto de inflexión la curvatura es nula ( y´´ = 0 ), y el radio de
curvatura es infinitamente grande.
Vimos que la curvatura y el radio de curvatura, son...