Derecho

´ DPTO. ANALISE ´ MATEMATICA FACULTADE ´ MATEMATICAS

´ ´ INTRODUCION A ´ ´ ANALISE MATEMATICA

(c)
γ

arctan

y ds, sendo γ a curva r = θ, dentro do c´ ırculo x2 +y 2 = R2 . x

setembro de 2012
o Bolet´ de problemas n¯ 2 ın

(d)
γ

x y z ds, sendo γ a cuarta parte da circunferencia x2 +y 2 +z 2 = R2 , x2 + y 2 = R2 , con x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. 4

1. Sexan f, g : R 3 → R e F, G,H : R 3 → R 3 , suficientemente regulares. Probar as seguintes igualdades: (a) (b) (f g) = f g + g f. (f /g) = (g f − f g)/g , nos puntos nos que g(x) = 0.
2

(e)

(x + y) ds, sendo γ a cuarta parte da circunferencia x2 + y 2 + z 2 = R , y = x, con x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
γ 2

(f)
γ

(x2 +y 2 +z 2 ) ds, sendo γ a porci´n de h´lice γ(θ) = (cos θ, sen θ , θ) o e con 0 ≤ θ ≤ π/2.

(c) div (f F ) = f div F + < F, f >. (d) div ( F × G) =< G, rot F > − < F, rot G >. (e) rot ( f F ) = f rot F + ( f × F ). (f) ∆(f g) = f ∆g + g ∆f + 2 < (g) div ( f × g) = 0. (h) < H, F × G >=< G, H × F >=< F, G × H >. 2. Probar que os siguientes pares de curvas son equivalentes: (a) γ(s) = (s, s + 1) con 1 ≤ s ≤ 8, e γ (t) = (t3 , t3 + 1) con 1 ≤ t ≤ 2; ¯ (b) γ(s) = ( sen s , cos s, s) con 0 ≤ s ≤ 4 π, eγ (t) = (− sen t , cos t, 2 π − ¯ t) con −2 π ≤ t ≤ 2 π. 3. Calcular a Lonxitude das seguintes curvas: (a) A cicloide γ(θ) = (θ − sen θ , 1 − cos θ) en [0, 2 π]. (b) A curva pechada r = 1 + sen θ . (c) A curva pechada r = 1 + cos θ. (d) x 2 + y 2 = a 2 , a > 0. (e) Primeiro xiro completo da curva x2 + y 2 = arctan4 (y/x), pasando polo (0, 0). 4. Calcular (a)
γ
3 3 3

(g)
γ

x (1 + 4y) ds,sendo γ o arco da par´bola y = x2 , con x ∈ [4, 9]. a

5. Calcular as seguintes integrais curvil´ ıneas: (a) f (x, y) = (x2 − 2 x y, y 2 − 2 x y), na par´bola y = x2 dende (−1, 1) a a (1, 1). (b) f (x, y) = (2 a − y, x), en γ(t) = a (1 − sen t ), a (1 − cos t) , t ∈ [0, 2 π]. (c) f (x, y) = (x2 + y 2 , x2 − y 2 ), en y = 1 − |1 − x|, dende (0, 0) a (2, 0). (d) f (x, y) = (x + y, x − y), naelipse b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 , en sentido positivo. (e) f (x, y, z) = (x, y, x z − y), no segmento de recta que une (0, 0, 0) con (1, 2, 4). x+y x−y (f) f (x, y) = , na circunferencia x2 + y 2 = R2 no , 2 + y 2 x2 + y 2 x sentido positivo. dx + dy (g) , sendo γ o contorno do cuadrado de v´rtices (1, 0), (0, 1), e γ |x| + |y| (−1, 0), (0, −1) no sentido positivo. Utilizando integrais curvil´ ıneasachar a ´rea do cuadrado e a lonxitude do seu per´ a ımetro. (h)
γ

f, g >.

y dx + z dy + x dz, sendo γ a curva intersecci´n das superficies o x + y = 2 e x2 + y 2 + z 2 = 2 (x + y). A curva ori´ntase en sentido e negativo vista desde o (0, 0, 0).

ds , sendo γ o segmento que une (0, −2) e (4, 0). x−y (i) y ds, sendo γ o arco da par´bola y 2 = 2 p x recortado por x2 = a

(y 2 − z 2 ) dx + (z2 − x2 ) dy + (x2 − y 2 ) dz, sendo γ a curva dada pola
γ

(b)
γ

2 p y.

intersecci´n do cubo [0, a] × [0, a] × [0, a] co plano x + y + z = 2 a, o a > 0, orientada no sentido positivo visto desde o punto (a, a, a).

6. Sexa D ⊂ R 2 un dominio regular e γ = ∂ + D a s´a fronteira positiu vamente orientada. Supo˜amos que a curva pechada γ se pode escribir n en coordenadas polares segundoa ecuaci´n r = f (θ), θ ∈ [θ1 , θ2 ], con o f ∈ C 1 [θ1 , θ2 ]. Probar que 1 Area(D) = 2
θ2

ent´n o
∂+D

∂f ∂f dx − dy = 0. ∂y ∂x −y , x

10. Probar que o campo F (x, y) = f 2 (θ) dθ.

θ1

, (x, y) = (0, 0), + + y2 non verifica o teorema de Green no disco unidade. Podes decir a que se debe esta propiedade?. x2 y2 x2

7. Usando a integraci´n curvil´ o ınea, calcular a ´rea da rexi´nlimitada polas a o curvas: (a) y2 x2 + 2 = 1 . (Elipse) 2 a b

(b) x2 + y 2 = 4, (x − 1)2 + y 2 =
1 1 1

1 . 2 (c) y 2 = 4 a x, x + y = 3 a, a = 0.

(d) x 2 + y 2 = a 2 , x + y = a, a > 0. (e) r = 1 + sen θ . (f) (x2 + y 2 )2 = 2 a2 (x2 − y 2 ), a = 0. (Lemniscata). (g) r2 = a cos 4 θ, a > 0. (h) x2 + y 2 = 1, y = x + 1 que cont´n ´ (0, 0). e o (i) A cicloide γ(θ) = (θ − sen θ , 1 − cos θ)...