Derivacion Parcial

Ejemplo 1: Un problema clásico es el de la cajita. Se desea construir una caja sin tapa, de base cuadrangular, a partir de una lámina cuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadradosde sus esquinas y doblando las pestañas sobrantes para que sean su altura. Calcular las dimensiones de la caja de mayor volumen
Solución: La figura 11.10 muestra la idea. La lámina entera está a laizquierda con los dobleces que se le han de hacer y los cuadritos en las esquinas que deben eliminarse. A la derecha aparece la cajita ya construida.
Sea x la longitud del cuadrito a eliminarse, porlo tanto la longitud restante que será realmente lo largo y ancho de la cajita es de 60 - 2x.
Antes de resolver el problema conviene hacer una pequeña tabla para mostrar que con diferentes valoresdel cuadrito a eliminar de lado x ,que es lo mismo que la altura de la
Puede verse en la tabla que el volumen va aumentando hasta cierto valor y luego comienza a descender, lo que significa que hayalgún volumen que es más grande que los demás, o sea que es máximo. No puede afirmarse a la ligera que el volumen máximo es V = 15 884 correspondiente a las dimensiones 11 × 38 × 38 simplemente porque esees el que se ve en la tabla,pues bien podría ser que antes de x = 11 y después de x = 9 se haya logrado el máximo y
que al pasar por x = 11 ya venga en descenso. O también podría ser posible quedespués de
x = 11 siga creciendo el volumen y luego al descender (entre x = 11 y x = 15) se llegó a V
= 13 500 cuando x = 15, según la tabla.
Tampoco tendría validez completar la tabla con los valoresde x = 10 ; x = 12 ; x = 13 y
x = 14 para analizar la tabla y sacar una conclusión, pues de entrada nada garantiza que el
máximo se obtenga para un valor entero de x, sino para un valor decimal. Laúnica manera
certera de obtener el valor de x para el cual el volumen es máximo es aplicando el procedimiento
de máximos y/o mínimos del Cálculo Diferencial
El volumen de la cajita es
V = x...