derivacion y diferenciacion de funciones escalares

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES
ESCALARES DE DOS O MÁS VARIABLES
DEFINICIÓN. Una función escalar de variable vectorial consiste
en una terna formada por:
i) Un conjunto de valores de la variable vectorial llamado
n

dominio y denotado con Df ⊂
ii) Un conjunto de valores de la variable escalar llamado
codominio y denotado conCf ⊂
iii) Una regla de que asocia a cada elemento del dominio
con uno y sólo un elemento del codominio. A esta regla se le
denota con

()

F = F r donde f :

n

→

.

Al conjunto de valores que toma la variable dependiente se le
denomina recorrido, imagen o rango de la función.
Con dos argumentos puede expresarse como z = f x, y y

(

)

puede interpretarse de las siguientesdos formas:

( x, y ) ∈ Df ⊂

2

f
z = f ( x, y ) ∈ Rf ⊂

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

y

2

f:

z

→

f ( x, y )

( x, y )

x

2

Df ⊂

Rf ⊂

( dominio )

( recorrido )

DEFINICIÓN. Se llama vecindad o entorno de

P ( x0 , y0 ) al

conjunto de puntos del interior de un círculo de radio δ y cuyo
centro es P x0 , y 0 . Son todos los puntos quesatisfacen la

(

desigualdad:

)

( x − x0 ) + ( y − y 0 ) < δ 2 .
2

conjunto al punto
vecindad

r = ( x, y )

P ( x0 , y 0 )

agujerada

y

expresar como

2

o

Si se excluye del

se habla entonces de una

entorno

reducido.

Si

se

hace

r0 = ( x0 , y0 ) , la definición anterior se puede

r − r0 < δ . Una vecindad, así como una

vecindad agujerada son:P ( x0 , y0 )

P ( x0 , y0 )

vecindad

vecindad
agujerada
n

.
DEFINICIÓN. Sea " S " un subconjunto de del espacio
Entonces:
i) " S " es “cerrado” si contiene a todos los puntos interiores y
además a todos los puntos frontera.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3

ii) " S " es “abierto” si contiene a todos los puntos interiores y
no contiene a los puntos frontera.
iii) " S " es“semiabierto” o “semicerrado” si contiene a todos
los puntos interiores y contiene algunos puntos frontera.
DEFINICIÓN. Sean

S⊂

"P"

" Q"

y

dos puntos de un conjunto

n

. Si estos puntos pueden ser unidos mediante un
segmento de curva cuyos puntos pertenecen a " S " , se dice
que " S " es un conjunto conexo. Y si además dicho segmento
es parte de una recta entonces a " S " sele denomina
simplemente conjunto conexo o convexo.
Ejemplo.
i) El conjunto

⎧
S = ⎨( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 16
⎩

x2 + ( y − 2 ) ≥
2

;

1
4

es conexo, como se muestra en la figura:

y

x2 + ( y − 2 ) =
2

x22+ y 2 2= 1
x + y = 16

P

;

⎫
x 2 + y 2 ≥ 1⎬
⎭

1
4

x

Q

ii) El conjunto
S=

{( x, y ) a ≤ x < b

;

c 0 y tan pequeño como se desee,
existeotro número δ > 0 tal que:

f ( x, y ) − L < ε

para todo
radio

( x, y ) ≠ ( x0 , y0 ) en un entorno reducido circular de

δ , que se representa como:
( x, y ) − ( x0 , y0 ) < δ ⇒

f ( x, y ) − L < ε

Una representación gráfica de este concepto es la siguiente:

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

37

z
z = f ( x, y )

L+ε

f ( x, y )
L
L−ε

( x, y )
( x0 , y0 )

δ

xTEOREMA

y

(propiedades).
Sean
las
funciones
x, y ,..., fn x, y y sea un entorno reducido del

f1 ( x, y ) , f2 (
)
( )
punto ( x0 , y0 ) contenido en sus dominios. Entonces se cumple
que:

i)

Si existe el límite

lim

( x ,y )→( x0 ,y0 )

f1 ( x, y ) entonces éste es único.

ii) El límite de toda función constante f ( x, y ) = C con
C = constante es lim f ( x, y ) = C( x ,y )→( x0 ,y0 )

iii)

Si

lim

existen

( x ,y )→( x0 ,y0 )
entonces se cumple que:

lim

⎡ f ( x, y ) +

( x ,y )→( x0 ,y0 ) ⎣ 1

=
iv)

lim

( x ,y )→( x0 ,y0 )

Si existen

f1 ( x, y ) +

lim

( x ,y )→( x0 ,y0 )
entonces se cumple que:

f1 ( x, y ) , ...

,

lim

( x ,y )→( x0 ,y0 )

fn ( x, y )

+ fn ( x, y ) ⎤
⎦
+

lim

( x ,y )→(...