Derivadas parciales

1)¿Qué son derivadas parciales?

una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi').
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función A paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la direcciónque se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Definición formal Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a lai-ésima variable xi como:

O visto respecto a la derivada direccional:

donde es el vector unitario del eje respecto al que se deriva (xi). ||left}} Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sinoademás diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.

2)¿Cómo se representan las derivadas parciales?

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables e podemos medir dos razones de cambio: una según cambia , dejando a fija y otra según cambia , dejando afija.
Suponga que dejamos variar sólo a , dejando a fija, digamos , en donde es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable , a saber . Si tiene una derivada en entonces la llamamos la derivada parcial de con respecto a en . De forma análoga podemos hacerlo para variable y fija.

Definición (derivada parcial)
Sea una funciónde dos variables y sea , entonces la derivada parcial de con respecto a en es


siempre y cuando el límite exista.
De forma similar definimos la derivada parcial de con respecto a en por


3)¿Cómo se calculan las derivadas parciales y las de orden superior?
Ejemplo 1
Usando la definición de derivada parcial calcule para
Solución
Usando la definición tenemos que:Observación: existen varias notaciones para la derivada parcial:



Ejemplo 2
Imaginemos que una placa metálica de forma rectangular y delgada, se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto es . Además, suponga que e están medidas en metros y la temperatura en grados centígrados. ¿Cómo varía la temperatura en el punto cuando permanece fijo en ?, ¿Quésignifica esto ?
Solución
Del ejemplo 1 tenemos que con lo cual la rapidez de cambio de la temperatura en el punto es de 8 grados centígrados por metro, cuando esta fijo en . El hecho de que sea positiva nos indica que la temperatura de la placa aumenta a medida que avanzamos sobre la recta hacia .
Puesto que la derivada parcial no es más que la derivada ordinaria de la función deuna variable que obtenemos al fijar alguna de las variables o , su cálculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que las usadas para las funciones de una variable.
Para calcular , considere a como una constante y derive a con respecto a .
Para calcular , considere a como una constante y derive a con respecto a

Ejemplo 3
Calcule la derivada parcial para y...