derivadas parciales

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta ¿Cómo afectaría
al valor de una función un cambio en una de sus variables independientes?
Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes
por separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento,
unquímico podría repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de
catalizador, mientras mantiene constante las otras variables como temperatura y
presión. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función f respecto a
una de sus variables independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este
proceso se le llama derivación parcial y el resultado se llamaderivada parcial de f con
respecto a la variable elegida.

Definición de las derivadas parciales de una función de dos
variables
Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función z  f ( x, y )
con respecto a la variable independiente x al siguiente límite, si existe y es finito:
z
f ( x   x, y )  f ( x, y )
 lim
 x 0
x
x

el cual se calculasuponiendo

(1)

y constante.

Se llama derivada parcial de una función z  f ( x, y ) con respecto a la variable independiente y
al siguiente límite, si existe y es finito:
z
f ( x, y  y )  f ( x, y )
 lim
 y  y 0
y

(2)

el cual se calcula suponiendo x constante.

Notación de las derivadas parciales
Si z  f ( x, y ) , entonces sus derivadas parciales respecto a x y y seexpresan, se
respectivamente, en las formas siguientes:

Departamento de Matemáticas-Cajamarca

1

z f


 f x ( x, y ) 
f ( x, y )  Dx [ f ( x, y )]  D1 f ( x, y )
x x
x
z f


 f y ( x, y ) 
f ( x, y )  D y [ f ( x, y )]  D2 f ( x, y )
y y
y
Ejemplo 1.- Aplique la definición de derivada parcial para calcular D1 f ( x, y ) y D2 f ( x, y ) si

f ( x, y ) 3x 2  2 xy  y 2 .
Solución

f ( x  x, y )  f ( x, y )
x  0
x
2
3( x  x )  2( x  x )y  y 2  ( 3x 2  2 xy  y 2 )
 lim
x  0
x
2
2
3x  6 xx  3( x )  2 xy  2 yx  y 2  3x 2  2 xy  y 2
 lim
x  0
x
2
6 xx  3( x )  2 yx
 lim
 lim 6 x  3x  2 y
x  0
x  0
x
 6x  2 y

D1 f ( x, y )  lim

D2 f ( x, y )  lim

y 0

f ( x, y y )  f ( x, y )
y

3x 2  2 x( y  y )  ( y  y )2  ( 3x 2  2 xy  y 2 )
y 0
y

 lim

3x 2  2 xy  2 xy  y 2  2 yy  ( y )2  3x 2  2 xy  y 2
y 0
y

 lim

2 xy  2 yy  ( y )2
y 0
y
 lim ( 2 x  2 y  y )  2 x  2 y
 lim

y 0

Ejemplo 2.- Calcular D1 f ( x, y ) y D2 f ( x, y ) si f ( x, y )  2 x 2 y  xy 2  x  5 y
Solución

f ( x x, y )  f ( x, y )
x 0
x
( 2( x  x )2 y  ( x  x )y 2  ( x  x )  5 y )  ( 2 x 2 y  xy 2  x  5 y )
 lim
x 0
x
2
2
4 xyx  2( x )  y x  x
 lim
 lim 4 xy  2x  y 2  1
x 0
x 0
x
2
 4 xy  y  1

D1 f ( x, y )  lim

En forma similar que D2 f ( x, y )  2 x 2  2 xy  5 .

Departamento de Matemáticas-Cajamarca

2

Nota Para calcularlas derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que según la
ecuación (1) la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de f con
respecto a x manteniendo fija la variable y. Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.
REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE z  f ( x, y )
1. Para determinar f x , conservar a y constante y derivar f ( x, y) conrespecto a x .
2. Para determinar f y , conservar a x constante y derivar f ( x, y) con respecto a y .
2

2

Ejemplo 1 Dada la función z definida por z  ( x  y )e

x y

. Hallar

 z
y

y

 z
x

.

Solución
z
x y
2
2
x y
2
3
x y
 2 xe
 ( x  y )(  ye )  ( 2 x  x y  y )e
x
z
x y
2
2
x y
3
2
x y
 2 ye
 ( x  y )(  xe )  ( 2 y  x...