Derivadas Parciales

Cu00c1LCULO SUPERIOR
DERIVADAS PARCIALES.
Curso del Instituto Tecnológico de Costa Rica

Walter Mora F.,
Geovanni Figueroa M.
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
www.cidse.itcr.ac.cr

Capítulo 3

DERIVADAS PARCIALES

3.1 DERIVADA PARCIAL.
La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variableindependiente. Para funciones de dos variables x e y podemos
medir dos razones de cambio: una según cambia y , dejando a x fija y otra según cambia
x , dejando a y fija.
Suponga que dejamos variar sólo a x , dejando a y fija, digamos y = b , en donde b es una
constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable
x , a saber g(x) = f (x, b) . Si g tiene unaderivada en a entonces la llamamos la derivada
parcial de f con respecto a x en (a, b) . De forma análoga podemos hacerlo para y variable
y x fija.

Definición 3.1 (Derivada parcial) Sea f : D ⊆ R2 −→ R una función de dos variables y
sea (a, b) ∈ D , entonces la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) está dada por
fx (a, b) = g (a) = lim

h→0

f (a + h, b) − f (a, b)
(1)
h

siemprey cuando el límite exista.
Cálculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M.
Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

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DERIVADAS PARCIALES

De forma similar definimos la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b) por

fy (a, b) = g (b) = lim

h→0

f (a, b + h) − f (a, b)
(2)
h

Observación: Los límites(1) y (2) son en una variable por lo que podemos calcularlos
usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, regla
de L Hôpital, etc.

EJEMPLO 3.1

Usando la definición de derivada parcial calcule fy (1, 2) para f (x, y) = 2xy2 + x .
Solución
Usando la definición tenemos que:

fy (1, 2) = g (2) =
=
=

lim

h→0

f (1, 2 + h) − f (1, 2)
h

2(2 +h)2 − 8
h→0
h
lim
lim

h→0

2(4 + h)
1

= 8

Observación: existen varias notaciones para la derivada parcial:

fx (x, y) = Dx (x, y) =

∂ f (x, y)
∂x

fy (x, y) = Dy (x, y) =

∂ f (x, y)
∂y

EJEMPLO 3.2

Imaginemos que una placa metálica de forma rectangular y delgada se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto (x, y) es T (x, y) = 2xy2 + x .Además,
suponga que x e y están medidas en metros y la temperatura T en grados centígrados.
Cómo varía la temperatura T en el punto (1, 2) cuando x permanece fijo en x = 1 ?, Qué

DERIVADA PARCIAL.

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significa esto ?
Solución
Del ejemplo 1 tenemos que f (1, 2) = 8 con lo cual la rapidez de cambio de la temperatura
T en el punto (1, 2) es de 8 grados centígrados por metro, cuando xesta fijo en 1 . El
hecho de que sea positiva nos indica que la temperatura T de la placa aumenta a medida
que avanzamos sobre la recta x = 1 hacia y = 2 .

Puesto que la derivada parcial no es más que la derivada ordinaria de la función g de una
variable que obtenemos al fijar alguna de las variables x o y , su cálculo se realiza de la
misma manera y usando las mismas reglas que las usadas paralas funciones de una variable.
Para calcular fx , considere a y como una constante y derive a f (x, y) con respecto a x .
Para calcular fy , considere a x como una constante y derive a f (x, y) con respecto a y .

EJEMPLO 3.3

Calcule la derivada parcial fy para f (x, y) =

xy
x2 − y2

y también calcule fy (2, 1)

Solución
Usando la regla para la derivada del cociente

fy (x, y) ==

con lo cual fy (2, 1) =

y(x2 − y2 ) − xy(−2y)
(x2 − y2 )2
x3 − xy2 + 2xy2
(x2 − y2 )2

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.
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EJEMPLO 3.4

Calcule zx y zy , si z está definida implícitamente como una función de x e y , mediante la
siguiente ecuación

x3 + y3 + z3 + 6xyz = 2

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DERIVADAS PARCIALES

Solución
Usando la regla de la cadena en una variable, obtenemos, derivando respecto a x , que:...