Diferencial o derivada

Diferencial ó derivada.
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada,  aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta
(Definición de la pendiente
La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Ydividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o diferencia).
Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormenteobtenemos:

que no encontramos que es pendiente entre dos puntos
Geometría
Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "baje hacia la derecha", tienependiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente tiende a infinito.
El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación:

y

Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; 2 o más rectas sonperpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas), si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida (infinita).
La pendiente en las ecuaciones de la recta
Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

entonces m es la pendiente. En estaecuación, el valor de b puede ser interpretado como el punto donde la recta intersecta al eje Y, es decir, el valor de y cuando x = 0. Este valor también es llamado ordenada al origen.
Si la pendiente m de una recta y el punto (x0,y0) de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

Por ejemplo, considere una recta que pasa por los puntos (2, 8) y (3, 20). Estarecta tiene pendiente . Luego de esto, uno puede definir la ecuación para esta recta usando la fórmula antes mencionada:

La pendiente de la recta en la fórmula general:

está dada por: )
y´  =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f '(x) y vimos que f '(x1) es la pendiente de la rectatangente a la curva en x=x1.

 
 En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0  se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f'(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como:
y-f(x0)=m(x-x0)
Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0   por x0+dx, donde el incremento  dx  escomúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en x.
Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces  podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta tangente:
 (1) Para referirnos al  cambio que ocurre en el valor de f  designaremos la notación  dy.
 (2) Para referirnos al  cambio que ocurreen el valor de y para la recta tangente  utilizaremos la notación dy.
Mas precisa se encuentra la siguiente definición:
Definición de diferencial (informal)
Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.
 
Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

Se define  a la diferencial de y como dy, dado por  dy=f '(x)...