Difusividad

DIFUSIVIDAD TÉRMICA

Introducción
Cuando la temperatura de un sistema no es
homogénea, existe flujo de calor desde las
zonas más calientes hacia las más frías. La
transferencia de calor se puede llevar a cabo
a través de tres mecanismos:
1) Conducción, el calor se propaga a través
de medios sólidos por la vibración de los
iones alrededor de sus posiciones de
“equilibrio” (o fonones). Lasvibraciones en
las regiones con temperatura mas elevada
son de mayor amplitud (energía) que en las
regiones del mismo sistema con menor
temperatura. Las partículas con mayor
energía cinética chocan con las menos
excitadas y les transfieren parte de su
energía, tendiendo así al equilibrio térmico.
En metales, también los electrones son
portadores de calor, teniendo una velocidad
media mayor en las regionesde alta
temperatura, y cediendo parte de la energía
cinética a electrones en las regiones mas
frías.
2) Convección, es el mecanismo que
además involucra el desplazamiento de
masa, en líquidos o en gas. Cuando la masa
de un fluido se calienta, aumenta la
velocidad media, y se reduce la densidad.
Esto hace que se generen desplazamientos,
mientras que las masas menos calientes,
pero más densas, delfluido se moverán en
un sentido opuesto al del movimiento de la
masa más caliente
3) Radiación, el calor es transferido
directamente entre diferentes partes del
cuerpo por radiación electromagnética. No
se requiere de un medio para su
propagación. Las superficies a temperatura
T emiten radiación, proporcional a T4
siguiendo la ley de Stephan Boltzmann,
[1]
En los sólidos no se produce latransferencia de calor por convección y la
transmisión por radiación es despreciable,
por lo tanto en ellos se estudia la
transferencia de calor por conducción.

Se supondrá que el sólido es homogéneo e
isótropo (el calor se propaga igualmente en
todas las direcciones). Además, se estudiará
el caso de propagación unidimensional (Ver
Fig. 1). [2]
La tasa de transferencia de calor a través de
una superficiepor unidad de área por
unidad de tiempo, se denomina flujo de
calor [2]. (Qué unidades tiene?)
Para un sólido isótropo y homogéneo, cuya
difusividad térmica κ, es independiente de
la temperatura, la ecuación que rige el
comportamiento térmico es:

∂ 2θ ( x, t ) 1 ∂θ ( x, t )
=
∂x 2
κ ∂t

(1)

Ésta es conocida como la ecuación de
conducción del calor o ecuación de Fourier
unidimensional. θrepresenta la temperatura
en (x,t).
Se propone el estudio de la difusividad de
una barra metálica en la configuración de la
figura 1.

θA

>

θB

Figura 1: Esquema de la geometría unidimensional
de flujo de calor en una barra

En esta experiencia se modifica la
temperatura del sólido periódicamente en
un
extremo,
por
lo
tanto,
su
comportamiento en el origen puede
describirse mediante la ecuación:
∞

θ(0,t ) =

4θ 0
sen( 2nτπ⋅t )
n
π
n = 1, 3 , 5...

∑

(2)

donde τ es el período de la oscilación y el
origen temporal ha sido elegido de tal
forma que θ(0,t) es impar.
En el otro extremo se supondrá que
la onda térmica ha decaído completamente
de tal forma que no haya onda reflejada, por
lo tanto θ(∞,t)=0.
Una vez alcanzado el estado
estacionario se propone como solución la
serie de Fourier:
∞

θ (x, t ) = ∑ An ( x) sen(ω nt − k n x )

(3)

n =1

donde An es la amplitud, ωn la frecuencia y
kn el número de onda asociado al n-ésimo
armónico. Se reconoce el estado
estacionario como aquel donde la
temperatura en cada punto oscila alrededor
de un valor medio fijo.
Introduciendo la ecuación (3) en (1) y
aplicando las condiciones de contorno se
obtiene finalmente como solución:

∑θ e

n
n =1, 3,5...

−∈n x

sen(ωnt − kn x)

(4)

Donde

θn =
ωn =

∈n =

La onda térmica posee las siguientes
características:
1) La amplitud de la oscilación decae
exponencialmente al aumentar la distancia
al origen.
2) El máximo valor de temperatura se
alcanza en un punto un tiempo después de
haberse alcanzado en x=0.
3) La temperatura es periódica en el tiempo,
con período τ, y en el espacio, con longitud...