Dinamica De Sistemas

Sistema: Conjunto de elementos que interactúan para lograr un fin u objetivo
Modelo: Conjunto de ecuaciones que describen con presicion el estado de un fenómeno físico y su evolución (normalmente ec. Diferencial)
*un modelo matamatico puede describir varios sistemas.
*un sistema puede ser descrito por varios modelos matematicos.
Tipos de sistema: hidráulica, mecanicos, térmicos, eléctricos,electrónicos, etc.
Sistemas lineales: obedece el principio de superposición modelo matematico lineal.
Sistemas no lineales: No obedece el principio de superposición, el modelo matematico no es lineal.
Matematico: es posible diseñar modelos matematicas para simulación y en problemas complejos estos pueden ser mas económicos y existe una gran variedad de este tipo de modelos orientados a encontrarsoluciones optimas(programación matematica).
En general los modelos matematicos de sistemas estaticos(que no varian con el tiempo) consiste de ecuaciones algebraicas, mientras que las representaciones matematicas del sistema dinamico y leyes físicos se integran mediante los siguientes factores.
Modelar el sistema mostrado

Pendulo
Por segunda ley
+∑Io = Io Ѳ”(t)
Io Ѳ”(t)=-mg Sen Ѳ (t)LIo=mL²
mL²Ѳ"(t) =img L SenѲ (t)
Ѳ"(t)= -g/L SenѲ(t)
Ѳ"(t) + g/l SenѲ (t)= 0 No lineal
Para angulos pequeños SenѲ(t) =Ѳ
Ѳ” (t) = g/l/w² Ѳ(t)=0
Ѳ"(t) + W²Ѳ(t)=0 lineal

Ejemplo de modelos dinamicos
Grafica senoidal

mx" (t)+ kx(t)=0
f= 2¶w frecuencia natural
frecuencia Asen w t + B Cos wt
W²n = k/m Wn=km

Sistemas mecanicos
Grados de libertad: Es el conjunto minimode coordenadas(coordenadas generalizadas) que describem con presicion el estado de un sistema. Normalmente en un sistema mecanico, el numero de grados de libertad se asocia a los movimientos independientes.
Diagrama de cuerpo libre

Aplicamos segunda ley
∑F= m1x”1= Fk2 – Fk1
∑F= m2x”2= -Fk2 –fk3
Sustituimos los valores de Fk1, Fk2, Fk3
Fk1= K1δk1=k1x1
Fk2= k2δk2= k2(x2-x1)
Fk3= k3δk3= k3x2Obtenemos un sistema de 2 ecuaciones diferenciales
M1x”1= k2 (x2-x1) –k1x1
M2x”1 = -k2 (x2-x1) –k3 x2
M1x”1 +x1 (k1+k2) – k2x2= 0 modelo
M2x”2+x2 (k2+k3) – k2x1=0 dinamico
Modelo en forma matricial.
M1 0 x”1 = k1+k2 -k2 x1 = 0
0 m2 x”2 = -k2 k2+k3 x2 = 0
M K

Si
X= x1 X··= x·1 X··= x··
X2 x·2 x··
El sistema es: Mx··+kx=0

Obtener el modelodinamico del sistema mostrado

Segunda ley de newton
∑F= m1x··1= F1(t) + 2k1(x2-x1) + k1(x2-x1) – k1x1
F1(t) + 3 k1(x2-x1) k1x1
M1x··1= F(t) + k1x2 – 4k1x1
M1x··1 + 4k1x1- 3k1x2 = F1(t) …………………….1
Para m2
∑F = m2x··2 = F2(t)- 2k1(x2-x1) –k1(x2-x1) -3k1(x2-x3)
=F2(t) -3k1(x2-x1) -3k1(x2-x3)
M2x··2 -3k1x3 +6k1x2 +k1x3
M2x··2 -3k1x3 +6 k1x2 –3k1x1 =F2(t)……………………….2
Para m3
∑F = m3x··3= F3(t) +3k1(x2-x3)
M3x··3 -3k1x2 +3k1x3 =F3(t)……………………………….3
M1 0 0 x··1 4k1- 3k1 0 F1(t)
0 M2 0 x··2 -3k1 6k1 –3k1 = F2(t)
0 0 M3 x··3 0 -3k1 3k1 F3(t)
M X·· + KX F
La ecuación 1,2,3 forman el modelo del sistema y su representación matricial es laecuación 4.

Disco delgado de masa M y radio 2r.

Segunda ley de Newton ∑Mo = Io Ѳ··(t)
Io = momento de inercia ----- M(2r)²= 4mr²
4mr²Ѳ··(t)= -kδ1(2r) -2kδ2® +T(t)
4mr²Ѳ··(t)= -k2rѲ(t) * 2r -2krѲ(t)r -krѲ·(t)r + T(t)
4mr²Ѳ··(t) +(4kr² +2kr² +kr²) Ѳ(t) =T(t)
4mr²Ѳ··(t) +7kr²Ѳ(t) =T(t)
Ѳ·· +7k/4m Ѳ(t)=0--------------------Ѳ··+Wn²Ѳ(t) =0

Resorte en paralelo

δ=F/ke
F1+F2+F3…+Fn=Ft
K1δ+k2δ+…knδ=F δ(k1+k2+k3….kn)=F
δi=1nk1=F-------------------ke=i=1nk1
resorte en serie

δ=i=1nδ1=i=1nδF/ki= F/ke
i=1n1ki=1/ke
Ke=1/i=1n1ki
Resorte de torsión

T=kѲ*δѲ

Movimiento complejo y sistemas de parámetros distribuidos
Otro péndulo

ET=cte. Ec. = ½ m v1² Ep= mgh
Vx = dxm/dt = L CosѲ(t) dѲ(t)/dt = LѲ·cosѲ(t)
Vy = dym/dt = -LѲ·(t) SenѲ(t)
vi² = vx²+vy² =L²Ѳ·²(t)...