Dinamica Sistemas

A
Modelado de
Sistemas Dinámicos
Este tema está dedicado al modelado de sistemas dinámicos. Esto es, a la
obtención de un conjunto de ecuaciones matemáticas que describen el
comportamiento de un sistema físico. No se estudia el modelado de todos los
posibles sistemas físicos; tampoco el modelado pretende ser exhaustivo. La
exposición se centra principalmente en el modelado de sistemaslineales,
aunque en algún caso se considerarán modelos no lineales.

A.1 Introducción
El modelado de un sistema dinámico consta de tres fases:
• A partir de la utilidad que vaya a tener el modelo decídase qué
señales son las de entrada o excitación, las de respuesta o salida, qué
variables son internas, y cuáles son los parámetros (constantes) a
tener en cuenta. Pueden dibujarse inicialmentebloques (sin
ecuaciones matemáticas) que describen la interacción de las
variables.
• Escribir las relaciones matemáticas que relacionan las variables de
entrada y salida de cada elemento del conjunto.
• Añadir las ecuaciones que ligan unos elementos con otros. Obtener
un modelo en espacio de estado o mediante funciones de
transferencia del conjunto.
Este proceso se sigue muchas veces deforma inconsciente. Aquellos que
están acostumbrados a trabajar, por ejemplo, con circuitos eléctricos pueden
escribir directamente las ecuaciones del modelo.
En las secciones siguientes se presentan modelos de diversos sistemas físicos.
La exposición no abarca todos los modelos dinámicos; no se incluyen, por
ejemplo, modelos de población o modelos económicos.
Las ecuaciones que resultan delmodelado de distintos sistemas tienen, a
menudo, la misma forma, lo que hace posible el establecimiento de analogías.
En este texto, sin embargo, no se hará un tratamiento amplio de analogías.

A−1

A.2 Sistemas Eléctricos
La obtención de modelos de sistemas eléctricos se va a tratar con cierto
detalle, aunque se supone al lector cierta experiencia con análisis de circuitos
en corrientecontinua y corriente alterna senoidal.
Las señales más utilizadas en el modelado de circuitos eléctricos son las
tensiones v(t) y las intensidades i(t), aunque pueden considerarse flujos λ(t),
cargas q(t), potencia p(t), energía w(t), etc.

Elementos pasivos lineales
En una resistencia (fig. A.1) de valor R la relación entre la tensión y la
corriente es:

iR ( t ) =

v R (t )
RAlternativamente se puede considerar la conductancia G = 1 R , con lo que
i R ( t ) = Gv R ( t ) .

iR (t)
+
v R (t)

iL (t)

iC (t)

+
R

−

+

v L (t)

L

−

v C (t)

C

−

Figura A.1. Elementos pasivos

En una bobina lineal (no se considera la saturación) de coeficiente de
autoinducción L la relación entre la tensión y la corriente es:
vL (t ) = L

diL ( t )
.dt

También puede ponerse:
t

1
iL ( t ) = iL ( 0) +
v L ( t )dt .
L
0

En un condensador de capacidad C esta relación es:

A−2

iC ( t ) = C

dv C ( t )
,
dt

o bien:
t

1
v C ( t ) = v C ( 0) +
iC ( t )dt .
C
0

Notar la dualidad entre las ecuaciones de la bobina y el condensador.
En las ecuaciones anteriores no se ha distinguido entre condición inicial y
valorinicial de la intensidad de la bobina y de la tensión en el condensador.
Estas son variables que no pueden cambiar repentinamente salvo en casos
muy especiales. La razón última es que no se puede cambiar instantáneamente
la energía almacenada en un elemento salvo que se le aplique excitación
infinita (tensión en un condensador, corriente en una bobina). Esto hace que
en el planteamiento de lasecuaciones de un circuito sea conveniente tener en
cuenta estas variables, aunque no sean las de interés o salidas.

Modelado y análisis de circuitos eléctricos
El modelado de un circuito eléctrico consiste en la descripción del mismo
mediante una serie de ecuaciones diferenciales que liguen las tensiones e
intensidades de interés (entradas, salidas, etc.).
Una vez que se dispone de las...