Distribución De Probabilidad Bivarida

DITRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BIVARIADAS.
En esta sección se consideran las definiciones pertinentes para distribuciones tanto discretas como continuas de dos variables aleatorias.

Definición 6.1
Sean X y Y dos variables aleatorias discretas. La probabilidad de que X=x y Y=y y esta determinada por la función de probabilidad bivariada
P(x,y) = P(X = x, Y = y).
En donde p(x, y)≥0 paratoda x, y, de X, Y, y ∑x∑yp(x, y) = 1. La suma se efectua sobre todos los valores posibles de x y y.

Con base en la definición 6.1, la función de distribución acumulativa bivariada es la probabilidad conjunta de que X ≤ x y Y ≤ y dada por
F(x, y,) = P(X≤x, Y≤y)= ∑xi≤x ∑yi≤y p(xi, yi).

La expresión anterior es una extensión del caso univariado. La función de probabilidad conjunta de dosvariables aleatorias da origen a las probabilidades puntuales conjuntas, y la función de distribución bivariada es una función escalonada creciente para cada probabilidad puntual distinta de cero, de manera tal que X = x y Y= y.

Ejemplo 6.1 Con base a la experiencia se sabe que la proporción de unidades útiles producidas por un proceso de manofactura es p1, y las proporciones de unidadesenviadas a reprocesar y desechadas, son p2 y P3 respectivamente. Si se supone que el numero de unidades que se produce en el lapso dado es n y que además estas constituyen un conjunto de ensayos independientes de manera que p1 + p2 +p3 = 1, desarrollar una expresión para la probabilidad de tener de manera exacta, x1, x2 y x3 unidades útiles, reprocesables y desechadas, respectivamente.

Lo que se pidees una extensión de la distribución binomial univariada. A pesar de que eisten tres resultados mutuamente excluyentes (útil, reprocesables y desechado), sólo es necesario definir dos variables aleatorias dado que, para cualquier número especifico de cada una, la suma de las tres en n. De esta manera, si X = x y Y = y, entonces el numero de unidades que debe desecharse es n – x – y. Por lahipótesis de independencia, la probabilidad de tener una secuencia especifica de resultados es
Px1py2(1 – p1 –p 2)n – x – y .

Dado que existen n!/[x!y!(n – x – y)!] formas igualmente probables para que ocurra una secuencia de resultados especifica, la probabilidad conjunta de tener, de manera exacta, x, y, y n – x – y unidades útiles, reprocesables y desechadas, respectivamente, es

P(x, y: n, p1,p2) =

En donde p3 = 1 – p1 –p2. La expresión (6.2) es la función d probabilidad conjuta de lo que se conoce como distribución trinomial. Los parámetros de esta distribución son n, p1 y p2, dado que p3 se determina de manera exacta si se conocen p1 y p2. La distribución trinomial se a aplicado, de manera extensa, a situaciones en que existen tres resultados distintos, como en las encuestas detipo político en que se pide la opinión con respecto a tres candidatos.

Si existen k resultados distintos excluyentes con probabilidades p1, p2, … pk, respectivamente, entonces para n ensayos independientes, la distribución trinomial se generaliza para originar la distribución multinomial cuya función de probabilidad es

DEFINICIÓN 6.2 Sean X y Y sos variables aleatorias continuas. Si existeuna función f(x, y) tal que la probabilidad conjunta:

Para cualquier valor de a, b, c, y donde d en donde f(x, Y) ≥ 0, - ∞ < x, y < ∞, y ∫∞-∞∫∞-∞ f(x, y)dydx =1, entonces f(x, y) es la función de densidad de probabilidad bivariada de X y Y.

La función de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias continuas X y Y es una superficie en el espacio de tres dimensiones donde el volumenpor debajo de esta y por encima de un rectangualo especifico a < X < b y c < Y < d es igual a la probabilidad de que las variables aleatorias tomen valores iguales a los puntos que se encuentren dentro del rectángulo.

La función de distribución bivariada acumulativa de X y Y es la probabilidad conjunta de que X ≤ x y Y ≤ y, dada por:

P(X ≤ x, Y ≤ y) = F(x, y) = ∫x-∞ ∫y-∞ f(u, v) dvdu....