Distribucio Binomial Negativa

Distribución binomial negativa
Distribución binomial negativa
Parámetros
 (real)
 (real)
Dominio

Función de probabilidad(fp)

Función de distribución(cdf)
es la función beta incompleta regularizada
Media

Moda


Varianza

Coeficiente de simetría

Curtosis

Función generadora de momentos(mgf)

Función característica

En estadística la distribución binomial negativa es una distribución deprobabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.
El número de experimentos de Bernoulli de parámetro  independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y .
La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
Propiedades[editar · editar código]
Su función deprobabilidad es

para enteros x mayores o iguales que k, donde
.
Su media es

si se piensa en el número de fracasos únicamente y

si se cuentan también los k-1 éxitos.
Su varianza es

en ambos casos.
Ejemplos[editar · editar código]
Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedadsea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños expuestos la enfermedad y

La solución es:

En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de 1 en cada 10 productos es defectuoso, ¿cual es la probabilidad que el quinto (5) artículo examinado sea el primero (1) en estar defectuoso?. La solución es: X= artículos defectuosos P= 1/10 = 0,1 q= 1- 0,1 = 0,9 x= 5 ensayos K= 1b*(5;1,0.1)=(5-1\1-1)(0.1)^1*(0.9)^5-1= b*(5;1,0.1)= 6.6% de probabilidad que el quinto elemento extraído sea el primero en estar defectuoso.


DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA.
    Esta distribución puede considerarse como una extensión o ampliación de la distribución geométrica . La distribución binomial negativa es un modelo adecuado para tratar aquellos procesos en los que se repite un determinadoensayo o prueba hasta conseguir un número determinado de resultados favorables (por vez primera) .Es por tanto de gran utilidad para aquellos muestreos que procedan de esta manera. Si el número de resultados favorables buscados fuera 1 estaríamos en el caso de la distribución geométrica . Está implicada también la existencia de una dicotomía de resultados posibles en cada prueba y la independenciade cada prueba o ensayo, o la reposición de los individuos muestreados.
Proceso experimental del que puede hacerse derivar
Esta distribución o modelo puede hacerse derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que se presenten las siguientes condiciones
 El proceso consta de un número no definido de pruebas separadas o separables . El proceso concluirá cuando se obtenga undeterminado número de resultados favorables K
 Cada prueba puede dar dos resultados posibles mutuamente excluyentes A y no A
 La probabilidad de obtener un resultado A en cada una de las pruebas es p siendo la probabilidad de no A , q . Lo que nos lleva a que p+q=1
 Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas. Todas las pruebas son independientes. Si se trata de un experimento deextracción éste se llevará cabo con devolución del individuo extraído, a no ser que se trate de una población en la que el número de individuos tenga de carácter infinito.
 (Derivación de la distribución) Si, en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria x sea "el número de pruebas necesarias para conseguir K éxitos o resultados A " ; entonces la variable aleatoria xseguirá una distribución binomial negativa con parámetros p y k
                                                                   será entonces    
La variable aleatoria x podrá tomar sólo valores superiores a k 
El suceso del que se trata podría verse como:
                                                    
                   o lo que es lo mismo
                                                 ...