Distribucion T Student

Distribución t de Student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para laconstrucción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y esta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
Dada una muestra aleatoria de n observaciones, de media x y desviación típica s, extraída de una población que sigue una distribución normal de media μ, la variable aleatoria t sigue ladistribución t de Student con (n-1) grados de libertad y viene dada por.
t= x - μ
S /√n
Estadístico Usado
“t” t= x- μos/√n
Función de Densidad:

F(x) = Γ(k+1)/2Γ(k2). 1√(kπ.1(1+x2k).(k+1)/2 Para x ε (-∞,+∞)

Espacio Paramétrico:
Grados de libertad k ε {1, 2,3,…}

Valor esperado:
0 para k > 1Varianza
kk-2 Para k > 2

Función generadora de momentos
No existe

Valores de Probabilidad Menores que 0.5

Por la simetría de la distribución de t de student, rige la igualdad F (-x)= 1- F(x). Por esa razón, la tabla solo tiene probabilidades mayores que 0.5, asociadas a cuantiles positivos.

Si se requiere el cuantil asociado a una probabilidad acumulada P menor que 0.5, seingresa a la tabla el valor de probabilidad acumulada 1-P; al correspondiente cuantil x obteniendo e la tabla se le pone signo menos, quedando –x como el cuartil requerido
Caracterización
La distribución t de Student es una distribución de probabilidad del cociente
ZV/v
Donde
* Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
* V tiene una distribución ji- cuadrado con ν gradosde libertad
* Z y V son independientes si μ es una constante no nula, el cociente z+μV/v es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.
Aparición y especificación de la distribución t de Student
Supongamos que X1..........Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media U y varianza σ². SeaXn= (X1+…+ Xn)/n
La media muestral. Entonces
Z= Xn- μσ/√n
Sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1. Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudio un cociente relacionado
T=Xn-μSn/√n,
Donde
S²(x) =1n-1i=1n=(xi-x)²

Es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

f (t) = Γ(v+12)vπ Γ(v2)(1+t2v)-(v+1)/2
Donde v es igual n-1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
El parámetro V representa el número de grados de libertad. La distribución depende de V, pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.

Aproximación Normal de la T de Student
Si una variable aleatoria X tiene distribución t de student con k grados de libertad, entonces si kes grande la variable aleatoria X tiene distribución aproximada normal standard.
En consecuencia, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F(x) con F distribución t de student, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal el valor F n(x), en que FN es la distribución normal standard. Se puede utilizar, como criterio, la condición k > 200.
Intervalo deConfianza derivados de la distribución t de Student
El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media= S√n siendo entonces el intervalo de confianza para la media = X ±t∝/2, n-1 S√n
Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la...