Distribuciones bidimensionales

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Es de interés considerar experimentos aleatorios a los cuales se les asignan dos variables aleatorias de entrada, relacionadas o no, que permiten definir las Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales o Bivariadas

Variable Aleatoria Bidimensional
Definición: Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio dado. Sean X = X(s) y Y = Y(s) dosfunciones que asignan un número real a cada resultado s S. Llamaremos a (X,Y) variable aleatoria bidimensional –vab-.
Simbólicamente tenemos



Observaciones
1. Interesan más que la naturaleza de las funciones X y Y los valores que asumen así:
(X[s], Y[s]) (X,Y)
2. El recorrido de la v a b (X,Y) es R
3. P (X[s] a, Y[s] b) P (X a, Y b)
4. (X,Y) es
(X,Y) puede servab mixta, o sea, continua y discreta por tramos.

Función De Probabilidad Conjunta Bivariada
Definición: La función que asocia a cada resultado (X, Y) R un numero real f(x,y) se denomina función de probabilidad conjunta bivariada si:
1. f(x,y) 0 para todo (x,y)

2. 1 =

Observaciones


- El volumen acotado por la superficie z = f(x,y) y la región R vale 1
- Laproyección de z = f(x,y) sobre el plano x,y es la región dominio R donde f(x, y)>0 así es claro que
0

Ejemplo
Si f(x, y) es una fdp divariada definida positivamente para todo (x,y)ЄR=[5,10]X[4,9] en la figura siguiente, Halle c y P(X Y).

dxdy = 1 entonces = 1 C =


P(X Y) = dxdy ó dydx
= dy ó dx
= óP(X ) =

Obteniendo el mismo resultado.

Función De Probabilidad Acumulativa Bidimensional
Sea (X,Y) una v a b con fdp f(x,y), entonces su función de distribución acumulada es:
F (X,Y) = P (X x, Y y)

Observación
Asi como = f(x) para X v a c unidimensional se tiene que = f(x,y) donde quiera que F(x,y) es diferenciable.
Distribución Uniforme Bivariada
Decimos que(X,Y) v a b se distribuye uniformemente en R si

f(x,y) =

Es claro que: K es el número finito de puntos de R si (X, Y) es una v a b discreta
ó K es el inverso del área finita de la región R si (X, Y) es una vab continua
Ejercicio
Sea R = {(x,y) : 0 x 1 x2 y x } si f(x,y) es una fdp uniforme bidimensional definida en R. Halle f ypruebe que:

a. dy = g(x) = 6 (x-x2), 0 x 1
b. dx = h(y) = 6 ( - y ), 0 y 1
¿Cómo es la gráfica de f, g y h?

Función De Probabilidad Marginal
En el ejercicio anterior a g(x) y h(y) se les denomina fdp marginales de las vac unidimensionales X y Y, diremos en general que si f(x,y) es la fdp conjunta de una vac bibimensional (x,y) entonces

g(x) = dy y h(y) = dxson la fdp marginales de las va unidimensionales x y y.

Asi P (c x d) = P (c x d, - Y )
= dydx = dx
Ejercicio
Sea f(x,y) = 2 (x+y-2xy) 0 x 1, 0 y 1. Halle las fdp marginales de las vac X y Y, y pruebe que son fdp.

En efecto

Ejercicio
Sea f(x,y) = x2 + 0 x 1, 0 y 2.
Grafique la región R donde f es positiva, demuestre que f es una fdp,pruebe que P (X + Y 1) = y halle las fdp marginales de X y Y.

Funciones De Probabilidad Condicional
Sea (X,Y) una v a b c con una fdp conjunta f. Sean g(x) y h(y) las fdp marginales de las v a c X y Y entonces las fdp condicionales de X dado Y = y, y de Y dado X = x
Son
g(x/y) = , h(y) > 0
h(y/x) = , g(x) > 0

Observe que:
1. dx = dy = 1
es decir g y hmarginales son fdp.
2. g(x/y) es la intercepción de f con el plano Y=C. Observe que la gráfica siguiente


Funciones De Probabilidad Bivariada Discreta
Basta, por analogía sustituir, en las definiciones del caso bidimensional continuo las integrales por sumatorias.

Ejemplo
Supóngase una fdp conjunta bivariada que asume valores de probabilidad conjunta según la siguiente tabla:

X1=2 X2=3...