Distrubucion De La Media

Distribución de la media con varianza conocida
Supongamos que una muestra aleatoria de n observaciones se ha tomado de cierta población y que hemos calculado µ con objeto de estudiar la media de la población. Debe aclararse que, si tomamos una segunda muestra al azar de tamaño n de esta población, resultará poco razonable esperar un valor idéntico de µ, y si hemos tomado varias muestras, nohabrá dos µ iguales. Las diferencias entre estos dos valores se atribuyen, generalmente al azar, y esto origina importantes cuestiones diferentes a su distribución y, en concreto, a la extensión de tales fluctuaciones casuales.

Hay un teorema que plantea que si X tiene una distribución normal, con media μ y varianza σ2, y se selecciona una muestra aleatoria tamaño n por el procedimiento del MAS,entonces la media muestral tendrá también una distribución normal, en este caso con media μ y varianza σ2/n.
O sea, si X ∼ N(μ ,σ) entonces X ∼ N ( μ , σ / n )

Teorema 7.1
Si una muestra aleatoria de tamaño n se ha tomado de una población que tiene la media µ y la varianza σ2 entonces la media es un valor de uan variable aleatoria cuya distribución tiene la media µ. Para muestras depoblaciones infinitas, la varianza de esta distribución es σ2/n, para muestras de población finita de tamaño N, la varianza es σ2n . N-nN-1
Así por ejemplo, si se tiene una muestra aleatoria X1, X2, X3 proveniente de una población normal de media 10 y varianza 9, la variable Y = X1 + 2X2 - X3 tiene distribución normal con media μy = 2(10) = 20 y varianza = (6)(9) = 54. Del anterior teorema se tiene quesi requerimos el cálculo de P [Y < 31].
El teorema 7.1 proporciona únicamente información parcial sobre la distribución muestral teorica de la media. En general, es imposible determinar tal distribución exactamente sin conocer la forma real de la población, pero si es posible, la distribución límite para n→∞ de un estadístico relacionada estrechamente con µ suponiendo que solo la poblacióntiene una varianza finita σ2. El estadístico al que se refiere es el medio tipificado y reducido
que es la diferencia entre µx y µ dividida entre la desviación típica de la distribución muestral de µx. Con referencia a este estadístico, se presenta el siguiente teorema llamado “Teorema del Límite Central”
Ejemplos
Ejemplo 1:
Se está estudiando el tiempo transcurrido entre lapolinización y la fertilización, X, en una especie de coníferas. Supongamos que la variable X está normalmente distribuida con una media de 6 meses y una desviación típica de 2 meses. Consideramos una m.a.s. de tamaño 25.
Obtener la probabilidad de que el tiempo medio transcurrido en la muestra entre la polinización y la fertilización sea como máximo de 6,3 meses:

X: tiempo transcurrido →N(µ;σ) = N(6;2)

Z= μx-μσN= μx-6225=μ-60.4→N (0;1)
P (µx≤6.3)= Pμx-6.4≤6.3-6.4=P (Z≤0.75)= 1-P (Z≥0.75)
= 1- 0.2266 = 0.7734

Ejemplo 2
Suponga que la tabla siguiente muestra la antigüedad en años en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas:

Maestro de matemáticas | Antigüedad |
A | 6 |
B | 4 |
C | 2 |

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2sin reemplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral.

Solución:
Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales.
Muestras | Antigüedad | Media Muestral |
A,B | (6,4) | 5 |
A,C |(6,2) | 4 |
B,C | (4,2) | 3 |
La media poblacional es:
La media de la distribución muestral es:
La desviación estándar de la población es:

El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es:

Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de correción tendriamos que:
Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de...