Ec de Orden n

Capítulo # 4
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE ORDEN “n”
Introducción:
Este tipo de ecuaciones contiene derivadas de orden superior las mismas que están elevadas a la unidad, para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza un operador diferencial: D=ddxque transforma a la ecuación diferencial en una ecuación del tipo algebraico de grado n para la variable D.
Una ecuación diferenciallineal de orden n presenta dos soluciones, una complementaria o general y otra particular, la solución total estará dada por la suma de ambas. La solución complementaria es la respuesta de la ecuación homogénea asociada a la ecuación diferencial de orden n.
Su forma general es la siguiente:
P0dnydxn+P1dn-1ydxn-1+P0dn-2ydxn-2+…+P0d2ydx2+P0dydx+Pny=Q(x)O también:P0yn+P1yn-1+…+Pn-2y''+Pn-1y'+Pny=Q(x)Sea el operador diferencial: D=ddxla ecuación diferencial con este operador tendrá la siguiente forma:
P0Dny+P1Dn-1y+P2Dn-2y+…+Pn-2D2y+Pn-1Dy+Pny=Q(x) (1)
Clasificación:
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n se clasifican en:
Si en la ecuación (1) los coeficientes P son constantes, la ecuación se denomina: Ecuación de Coeficientes Constantes.
P0Dny+P1Dn-1y+…+Pn-1Dy+Pny=Q(x)con:Pi=ConstanteSi en la ecuación (1) los coeficientes P son variables, la ecuación se denomina: Ecuación de Coeficientes Variables.
P0Dny+P1Dn-1y+…+Pn-1Dy+Pny=Qx con: Pi=fixSi en la ecuación (1) se verifica que: Q(x) = 0 entonces, la ecuación se denomina: Ecuación Homogénea.
P0Dny+P1Dn-1y+P2Dn-2y+…+Pn-2D2y+Pn-1Dy+Pny=0Soluciones:
Para asegurar la existencia de una solución de una ecuacióndiferencial lineal de orden n se dispone del siguiente teorema:
Teorema: Si en la forma general de este tipo de ecuaciones se cumple que: P1(x), P2(x), P3(x), … , Pn(x)son funciones continuas en un intervalo cerrado: a,b. Si: x0 es cualquier punto del intervalo donde: y0, y'0, y''0, … son números arbitrarios, la ecuación en su forma general tiene una y solo una solución de la forma: y(x) sobre elintervalo completo tal que:
yx0=y0 , y'x0=y'0 , y''x0=y''0 , …
Entonces, bajo las hipótesis indicadas, en cualquier punto: x0 de a,b se pueden predecir los valores de: y(x), y’(x), y’’(x), … existiendo una solución que toe esos valores en el punto dado.
Geométricamente el teorema se puede interpretar como que la ecuación lineal de orden n posee una única solución en el intervalo dado quepasa por un punto específico x0,y0con pendiente y'0.
Las condiciones requeridas por el teorema se asume que se cumplen en forma implícita.
En la práctica para determinar las soluciones de una ecuación diferencial de orden n se toman las siguientes consideraciones:
Una función y(x) es solución de este tipo de ecuaciones si satisface completamente la misma.
Si y(x) es una solución de la ecuacióndiferencial de orden n entonces también lo es: Cy(x) con C constante.
Si y1(x), y2(x)son soluciones, entonces también lo son la suma de ambas de la forma:C1y1(x)+C2y2(x)con C1 y C2 constantes.
Independencia lineal de las soluciones:
Las funciones: y1(x), y2(x), y3(x), … , yn(x); se denominan linealmente independientes si se verifica la siguiente igualdad:C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cn-1yn-1x+Cnynx=0Solamente en el caso de que: C1=C2=…=Cn=0, esto significa que para constantes distintas de cero, la igualdad anterior no debe de cumplirse, para que las funciones sean linealmente independientes.
Si: y1(x), y2(x), y3(x), … , ynx son soluciones y además son funciones linealmente independientes entre sí, entonces es solución de la ecuación la siguiente expresión:y=C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cn-1yn-1x+CnynxEsta forma de colocar todas las soluciones encontradas en la forma de una suma se denomina también principio de Superposición.
En la práctica toda vez que se desee plantear una suma de funciones como solución de una ecuación diferencial lineal de orden n, se debe verificar que las funciones componentes de la solución sean linealmente independientes. Para verificar tal condición es...