ECUACION DIFERENCIA DE LEGENDREBESSEL

ECUACION DIFERENCIA DE LEGENDRE


RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE.
SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE FUCHS EN V (0) La ED Legendre


Tiene por campo de convergencia aSe ensaya la solución aplicando el método de fuchs









Tomando el coeficiente de la potencia se forma la ecuaciónde recurrencia




Que lleva la ecuación característica

De donde

Se esta en presencia de un caso III de fuchs cuyo subcaso se discrimina en la ecuación de recurrencia con :




De donde se observaque la condición complementaria es siempre nula porque .Por lo tanto la ecuación de legendre es un caso IIIA de método de fuchs es decir las dos soluciones son de la forma general y =

Para operarcon mayor facilidad con la ecuación de recurrencia mas fácilmente se transforma el segundo termino en producto de monomios


Para ello se buscan las raíces de este polinomio de segundo grado


Paraello se completa el cuadrado perfecto tomando
Queda


Para halar la primera y segunda solución simultáneamente se desarrollara la función y(x,r):

Resulta entonces:
Arbitrario y nulo
Válidopara la primera solución, y elegido arbitrariamente nulo para la segunda. además se arrastra




Entonces :


Para obtener la primera solución y1 se remplaza en y(x,r):



Y para la segundasolución y2 se reemplaza en y(x,r):



Estas soluciones y1 y y2 son las funciones de legendre que generan las solución general de la ecuación de legendre como la combinación lineal:Función de Bessel
Considere la ecuación diferencial

Donde v es un parámetro. Dicha ecuación se conoce como ecuación de bessel y juega un papel muy importante en la matemática aplicada.
Sedemuestra que una solución de la ec de bessel es la llamada función de bessel de primera clase de orden v, la cual se define por:


Cambiando v por –v se observa que



Es también solución de la ecuación...