ecuaciones de 2 orden

Ecuación Lineal de Segundo Orden
Solución General
Un operador lineal de segundo orden es una aplicación
L : u 7! u00 + p (x) u0 + q (x) u

(1)

Es fácil comprobar que tal operador es lineal en el sentido que
L ( u + v) = L (u) + L (v) :
Supondremos que el dominio de L es C 2 , en cuyo caso L (u) 2 C siempre que los
coe…cientes p y q sean funciones continuas. Todo esto en ciertointervalo I que se
determinará en cada caso.
Una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden tiene la forma
u00 + p (x) u0 + q (x) u = r (x) :

(2)

El conjunto solución de esta ecuación se puede pensar como L 1 (frg) : Dado que L
es lineal, como se sabe de los cursos de Algebra, este conjunto se obtiene como todas
las funciones de la forma up + u donde up es una solución particular…ja de (2) y u
varía en el núcleo del operador L. Esto es, u es una solución de la ecuación homogénea
asociada
u00 + p (x) u0 + q (x) u = 0:
(3)
Para determinar la estructura de N u (L) se requiere del siguiente teorema que
aceptaremos sin demostración.
Teorema de existencia y unicidad. Si las funciones r; p y q son
continuas y acotadas en un intervalo abierto I; dado un punto x0 2 I y dosnumeros reales k0 ; k1 , existe una única solución de la ecuación diferencial (2)
sujeta a las condiciones iniciales
8
< u (x0 ) = k0
;
: 0
u (x0 ) = k1
válida en todo el intervalo I:

Si ahora, …jado un punto x0 en el intervalo I, consideramos la aplicación
:
2
0
N u (L) ! R de…nida por
(u) = (u (x0 ) ; u (x0 )), ella resulta obviamente lineal.

Cálculo III 2011

Ecuación Linealde Segundo Orden

Aplicando el teorema de existencia y unicidad (con r = 0), sigue de la existencia que
es sobreyectiva y de la unicidad que es inyectiva. Por lo tanto dim [N u (L)] = 2 y, en
consecuencia, si u1 y u2 son dos soluciones linealmente independientes de (3), todas
las soluciones se obtienen con las combinaciones lineales c1 u1 + c2 u2 :
Resumiendo, la solución general de (2) esu = up + c 1 u 1 + c 2 u 2 ;
donde up es una solución particular y u1
independientes de la ecuación homogénea (3).

y u2

son dos soluciones linealmente

Independencia Lineal. Wronskiano
Dos funciones u1 y u2 son linealmente independientes en el intervalo I si
1 u1

(x) +

2 u2

(x) = 0 8x 2 I =)

1

=

2

= 0:

Por lo tanto, serán linealmente dependientes si existen dosnúmeros no simultáneamente
nulos 1 y 2 tales que la combinación lineal 1 u1 + 2 u2 es idénticamente nula en I:
En este caso, una de las dos funciones es múltiplo de la otra. En efecto. Si, por ejemplo,
1 6= 0;
2

u1 =

u2 = Cu2 :

1

El wronskiano de dos funciones es una función de…nida en el mismo intervalo por el
siguiente determinante:
u1 (x)

u2 (x)

u01

u02

:

W (u1; u2 ) (x) =
(x)

(x)

Teorema. Si u1 y u2 son linealmente dependientes en el intervalo I,
entonces W (u1 ; u2 ) (x) = 0 8x 2 I:
Demostración. Como una de las funciones es múltiplo de la otra, digamos u1 = Cu2 ;
derivando se tiene que también u01 = Cu02 . Entonces, para todo x 2 I;
Cu2 (x)

u2 (x)

Cu02 (x)

u02 (x)

W (u1 ; u2 ) (x) =

=0

porque tiene dos columnaslinealmente dependientes
Por contrarrecíproca, se deduce que basta la no anulación del wronskiano en un
solo punto para asegurar la independencia lineal de dos funciones. Por el contrario,
W (u1 ; u2 ) (x0 ) = 0 para algún x0 2 I no implica en general la dependencia lineal de
las funciones. Pero tratándose de dos soluciones de (3),
Teorema. Si u1 y u2 son dos soluciones de (3) y existe un punto x0 2 Ital que W (u1 ; u2 ) (x0 ) = 0 entonces u1 y u2 son linealmente dependientes.

2

Cálculo III 2011

Ecuación Lineal de Segundo Orden

Demostración. De la anulación del wronskiano se in…ere que las columnas son l.d.
Por lo tanto existen 1 ; 2 no ambos nulos, tales que
1

(u1 (x0 ) ; u01 (x0 )) +

2

(u2 (x0 ) ; u02 (x0 )) = (0; 0)

Esto signi…ca que
(4)

( 1 u1 + 2 u2 )...