Ecuaciones De Orden Superior

2.1 Teoría preliminar………………………………………………...3
2.1.1 Definición de ed de orden n………………………………….6
2.1.2 Problemas de valor inicial …………………………………...8
2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única…....11
2.1.4 EDL homogéneas…………………………………………...12
2.1.4.1 Principio de superposición……………………………….14
2.1.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano……...15
2.1.6 Solución general de lasedl homogéneas………………..16
2.1.6.1 Reducción de orden de una edl………………………...18
2.2 Solución de edl homogéneas de coeficiente constante…..19
2.2.1 Ecuación característica para edl de segundo orden…....22
2.3 Solución de las edl no homogéneas………………………..25
2.3.1 Método por coeficientes determinados…………………..27
2.3.2 Método de variación de parámetros……………………...30
2.4Aplicaciones…………………………………………………...31
Bibliografía………………………………………………………… 36





2.1 teoría preliminar









2.1.1 definición de ed de orden n
Hasta el momento hemos trabajado con ecuaciones diferenciales de orden uno, es, decir, .
Ahora vamos a estudiar ecuaciones con derivadas de cualquier orden:
Esta es la ecuación lineal completa de coeficientes variables, dada en un abierto
de la recta real, en el que se debe cumplir que y quey son funciones continuas en . En el caso particular de que se llamara ecuación homogénea de coeficientes variables.










2.1.2 problemas de valor inicial






2.1.3 teorema de existencia y unicidad de solución única
Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c pertenecientea dicho intervalo, para el que se verifica:
El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].
Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.
2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervaloconsiderado. Se trata de un concepto diferente.
3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones deintegración sencilla.
TEOREMA (De unicidad): El teorema de unicidad nos garantiza que para todo conjunto de condiciones de la forma:

Existe una única función definida en dicho intervalo
que verifica dichas condiciones.
Sin embargo, no pasa lo mismo si nos dan una serie de condiciones de frontera, consistentes en:

En tal caso no hay nada garantizado, ya que aquí puede haber varias, una o ningunasolución.
TEOREMA (De superposición): Sean
soluciones de la ecuación diferencial Entonces el teorema de superposición nos garantiza que la suma de soluciones es solución de la ecuación diferencial.
Empezaremos por estudiar la ecuación homogénea asociada a la ecuación completa dada (haciendo ). Después pasaremos a estudiar la ecuación completa. La solución vendrá dada por la solucióngeneral de la homogénea más una solución particular de la completa.
2.1.4 edl homogéneas
Una funcion f(x; y) se dice homogénea de grado n si f (tx; ty) = tnf (x; y). La ecuación
Diferencial M(x; y) dx+N(x; y) dy = 0 es homogénea si M(x; y) y N(x; y) son homogéneas del mismo grado.
Dada una ecuación diferencial homogénea el cambio de variable
y = ux ) dy = u dx+x du
la transforma en una ecuaciónde variables separadas.
Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) x dy +(x + y) dx = 0
b) (x2 ¡y2) dx +2xy dy = 0










2.1.4.1 principio de superposición
TEOREMA (De superposición): Sean
soluciones de la ecuación diferencial Entonces el teorema de superposición nos garantiza que la suma de soluciones es...