Ecuaciones Diferenciales , Operador Inverso

Primera propiedad del operador derivada
Sea x la variable independiente, aunque en otros casos puede ser t ´o cualquier otra
letra previamente establecida.Se define a:
D = d
dx como el operador primera derivada
D2 = d2
dx2 como el operador segunda derivada
D3 = d3
dx3 como el operador tercera derivada
...Dn = dn
dxn como el operador n-´esima derivada
Consideremos para esta primera propiedad, funciones del tipo exponencial es decir:
f (x) = e±ax
donde a es unescalar o constante.
Aplicando el operador derivada a ´este tipo de funciones
De±ax = d
dxe±ax = ±ae±ax
D2e±ax = d2
dx2 e±ax = a2e±ax
3
4 1. PROPIEDADESDEL OPERADOR DERIVADA
D3e±ax = d3
dx3 e±ax = ±a3e±ax
...
Dne±ax = dn
dxn e±ax = (±a)ne±ax
Sumando miembro a miembro se tiene:De±ax+D2e±ax+D3e±ax+...+Dne±ax = ±ae±ax+(±a)2e±ax+(±a)3e±ax+...+(±a)ne±ax
Factorizando ahora en ambos miembros e±ax se obtiene:

D + D2 + D3 + ... + Dn
e±ax =

±a + (±a)2 + (±a)3 +... + (±a)n
e±ax
si en esta expresi´on designamos a la sumas de t´erminos en D como P(D) (Polinomio
diferencial o derivada) y a la suma de t´erminos en acomo P(a) se reduce a:
P(D)e±ax = P(±a)e±ax (1.1)
Ejemplo 1.1 Obtener la siguiente derivada
d3
dx3 (8e3x) + 8
d2
dx2 (8e3x) + 20(8e3x)
factorizando enesta expresi´on 8e3x y sustituyendo las derivadas por el operador derivada
correspondiente tendremos:

d3
dx3 + 8
d2
dx2 + 20

8e3x

=

D3 + 8D2 +20

8e3x

aplicando la ecuaci´on (1.1) el resultado es:
d3
dx3 (8e3x) + 8
d2
dx2 (8e3x) + 20(8e3x) =

(3)3 + 8(3)2 + 20

8e3x

= 952e3x