ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
1. INTRODUCCIÓN
Definición de ecuación diferencial (ED): Una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama ecuación diferencial.
Clasificación de las ED: las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y linealidad. Según eltipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sóla variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivadapresente en ella.

Solución de una ED: una función  f, definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser explícitas o implícitas. Una ED tiene, generalmente, un número infinito de soluciones o más bien una familia n-paramétrica de soluciones. Elnúmero de parámetros, n, depende del orden de la ED. Cuando se dan valores específicos a los parámetros arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numéricos a los parámetros, se obtiene una solución particular de la ED. En algunas ocasiones se tiene una solución que no pertenece a la  familia n-paramétrica, a tales soluciones se les llama singulares
2. INTEGRACIÓN DIRECTA
Una ecucióndiferencial ordinaria lineal de primer orden y de primer grado de la forma.

Se analiza en el curso de cálculo integral. En este caso simple la solución es:

Contiene una constante arbitraria, que se puede determinar si se conoce el valor ; entonces:

Mas adelante se verá que bajo algunas limitaciones establecidas sobre la función f(x,y) la ecuación . Tiene también una solución única, quesatisface la condición , y su solución general, es decir el conjunto de soluciones que contiene sin excepción a todas las soluciones, depende de una constante arbitraria.
La ecuación diferencial establece una dependencia entre las coordenadas de un punto y el coeficiente angular de la tangente a la gráfica de la solución en ese punto. Conociendo a x como a y, se puede calcular . Por consiguiente, laecuación diferencial de la forma considerada determina un campo de direcciones, y el problema de integración de la ecuación diferencial se reduce a hallar las llamadas curvas integrales, para la cuáles la dirección de las tangentes a éstas coincide en cada punto con la dirección del campo.

3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE N-ÉSIMO ORDEN.
Definición.-Una ecuación diferencial lineal den-ésimo orden, es una ecuación diferencial que se puede escribir como:
, con .
Si el segundo miembro b(x)=0, la ecuación se llama lineal homogénea, puesto que es Homogénea con respecto a la función desconocida y a sus derivadas.
Si el coeficiente es diferente de cero en todos los puntos de un cierto intervalo , entonces, dividiendo entre reducimos la ecuación lineal homogénea a la forma:.
Si los coeficientes son continuos en el intervalo entonces en un intervalo de cualesquiera condiciones iniciales.
,…….
Donde es cualquier punto del intervalo a < x < b, se satisfacen las condiciones del teorema de existencia y unicidad que se verá mas adelante.
Escribamos la ecuación lineal homogénea de orden n.

En forma compacta como:
L donde L.
Llamaremos Loperador diferencial lineal.
El operador diferencial lineal posee las dos propiedades fundamentales siguientes:
1.- Un factor constante puede sacarse fuera del símbolo del operador, esto es:
LL.
2.- El operador diferencial lineal, aplicado a la suma de dos funciones, e, es igual a la suma de los resultados de la aplicación del mismo a cada función por separado, o sea:
LL +L.
Basándonos en las...