Ecuaciones diferenciales

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LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES

JUSTIFICACIÓN:

En esta Lección se centrará la atención en el estudio de aquellas ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden las cuales pueden transformarse en
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables separadas, mediante
la aplicación de operaciones elementales entre sustérminos o por medio de algún
cambio de variable. En estos casos se dirá que las ecuaciones dadas son ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables.

Estudiaremos tres casos:

Caso1: La ecuación diferencial tiene la forma
P (x) dx + Q (y) dy = 0
Caso 2: La ecuación diferencial tiene la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
Caso 3: La ecuación diferencial tiene laforma
y F (x.y) dx + x G (x.y) dy = 0

OBJETIVOS:

El estudiante podrá:

1-

Identificar si la ecuación diferencial dada es una ecuación diferencial

ordinaria de primer orden de variables separables.

97

2-

Transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial de

variables separadas.

3- Obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden de variablesseparables.

PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

En la Lección 4 ¿qué estudiamos?


Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de

variables separadas.

¿Cuál es la característica esencial de este tipo de ecuación diferencial?
 Se caracterizan por tener la forma P (x) dx + Q (y) dy = 0

Muy bien. ¿Podrían darme algún ejemplo de ecuación diferencial ordinaria deprimer orden de variable separada?
 Por ejemplo:
1- 2x dx + y dy = 0
2- x3 dx +

y dy = 0

Correcto. ¿Qué pasos seguimos para obtener la solución general?

98



Integramos cada término de la ecuación diferencial. Sumamos solo una

constante arbitraria y en los casos en los cuales fue posible despejamos la variable
dependiente, para dar la solución en forma explícita.

Exactamente. Si yo lespidiera la solución general de la ecuación diferencial
del ejemplo 2 que acabamos de anotar ¿qué obtenemos?
 Si tomamos la ecuación diferencial
x3 dx +

y dy = 0

integrando se obtiene



x 3 dx 



y dy  C

Al resolver las integrales, las cuales son inmediatas resulta
3
x4 2 y

C
4
3

Ya que de aquí se puede despejar "y" se tendrá entonces que
general de la ecuación diferencial x3 dx +

lasolución


3x 4 
y dy = 0 es y = 3  k 

8 


2

Correcto. En esta Lección se estudiarán tres casos de ecuaciones diferenciales,
las cuales mediante la aplicación de ciertas operaciones fundamentales o ciertos
cambios de variable se pueden transformar en ecuaciones diferenciales de variables
separadas. A este nuevo tipo de ecuación diferencial se les denomina ecuaciones
diferencialesordinarias de primer orden de variables separables.

99

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables:

Caso 1: Ecuaciones diferenciales de la forma Q (y) dx + P (x) dy = 0

Consideremos la ecuación diferencial y dx + x dy = 0 ¿es esta una
ecuación diferencial de variables separadas?
 No.

¿Podrían decirme por qué?
 Porque la diferencial dx está multiplicada por unafunción que depende de la
variable "y", y la diferencial dy está multiplicada por una función que depende de la
variable "x".

Exactamente. Observen la ecuación diferencial. ¿Qué operación

o qué

operaciones sugieren se efectúen en la ecuación diferencial a fin de transformarla en
una ecuación diferencial de variables separadas?



Se debe multiplicar la ecuación diferencial dada por el factor 1ecuación se transforma en la ecuación diferencial

xy

; así la

1
1
dx  dy  0 en la cual las
x
y

variables están separadas.

Correcto. Ya que las variables están separadas ¿qué se debe hacer ahora?

 Ahora se debe integrar



1
dx 
x



1
dy  k
y

100

Muy bien ¿Qué tipo de integrales son estas?
 Son integrales inmediatas. Resolviéndolas se obtiene



1
dx  ln x
x



,

1
dy  ln y...