Ecuaciones Finitas
Páginas: 5 (1066 palabras)
Publicado: 20 de febrero de 2013
Método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas
(Parte I)
Contenido
Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones en derivadas parciales elípticas Ecuación de Laplace Aproximación de operadores diferenciales Fórmula de diferencias centradas para f' u f'' Construcción de sistema de ecuaciones
Laplace con condiciones de dirichlet Laplacecon condiciones de Neumann (mixtas)
Resolución del sistema de ecuaciones
Ecuaciones en derivadas parciales
Involucran una función desconocida u de dos o más variables independientes Válida sobre un dominio geométrico => discretización Condiciones de borde e iniciales (Sección 10.3, capítulo 10, Mathews-Fink, apuntes de MC. Rivara)
Clasificación de EDPs clásicas∂² u ∂ ²u ∂ ²u ∂u ∂u A B C =f x , y , u , , ∂ x² ∂ xy ∂ y² ∂x ∂y
para x 0 xx f , y 0 y y f
0
y con las condiciones de borde para un dominio rectangular
f f
u x , y 0 =b y x , u x , y f =b y x u x 0, y =b x y , u x f , y =b x y
0
Estas EDPs pueden ser clasificadas en tres grupos:
EDP elíptica si: EDP parabólica si: EDP hiperbólica si:
B²−4AC0B²−4AC=0 B²−4AC0
EDPs Elípticas
Problemas de estado estacionario (no son función del tiempo)
Ecuación de Laplace Ecuación de Poisson
∂² u ∂²u =0 en Ω ∂ x² ∂ y² ∂² u ∂²u en Ω =f x , y ∂ x² ∂ y²
Condiciones de borde
Dirichlet Neumann
u=f 1
∂u =f ∂n 2
en
Ƭ1
en Ƭ2
Ejemplo: Ecuación de Laplace
Si tenemos
∂² u ∂²u =0 ∂ x² ∂y²
con
u=f 1
en Ƭ
Que deseamos encontrar? Cómo resolverla? numéricamente Qué conceptos debemos utilizar?
Ejemplo: Ecuación de Laplace
Solución aproximada
Cómo la resolvemos? Usaremos diferencias finitas
Técnica numérica
Discretizar el dominio Aproximar los operadores diferenciales por operadores de diferencias
∂² u ui−1j−2u ij u i1j ≈ ∂ x² h²
Laplaciano:
Cómo se deduce?
Usar aproximaciones de derivadas
Límite del cuociente incremental:
f ' x =lim
h 0
f xh−f x h
f x ih−f x i f i 1−f i f ' x ≈ = h h
Aproximación buena solo para h pequeños
(Detalles en sección 6.1, Mathews-Fink)
Cómo se deduce? (...)
Fórmula de diferencias centradas:
Teorema Fórmulacentrada de orden O(h²). Supongamos que
f ∈C³[ a , b]
y que
f ' x ≈
x−h , x , xh∈[ a , b]
entonces:
f xh−f x −h 2h
Es más, existe un número
f ' x ≈
c=c x ∈[a , b ] tal que
f xh−f x −h E trunc f ,h 2h
siendo
−h²f 3 c E trunc f , h= =Oh² 6
Cómo se deduce? (...)
Demostración:
Usamos fórmula de Taylor deorden 2 de f alrededor de x para
f(x-h) y f(x+h)
f 3 c 1 h³ f x h² f xh=f x f ' x h 2! 3!
2
f x h² f x−h=f x −f ' x h − 2!
2
f
3
c 2 h³ 3!
Restamos y obtenemos
f 3 c 1 f 3 c 2 h³ f xh−f x −h=2f ' x h 3!
Como
f
3
x es continua, usamos el teorema del valor intermedio
f 3 c 1 f 3 c 2 3 =f c 2
Cómo se deduce? (...)
Y ordenando términos obtenemos:
f xh−f x −h f 3 c h² f ' x = 2h 3!
(Primer término es la fórmula centrada y el segundo el error de truncamiento)
f xh−f x −h f ' x = O h² 2h
A continuación usaremos la siguiente notación:
f j1 −f j −1 f ' x j ≈ 2h
Fórmulas de derivaciónnúmerica
Fórmulas de diferencias centradas O(h²)
f 1−f −1 f ' x 0 ≈ 2h f
2
f 1−2 f 0f −1 x 0 ≈ h² f 2−f 1 2 f −1−f −2 x 0 ≈ 2h³
Se usa para discretizar el Laplaciano
f
3
f
4
f 2−4 f 16 f 0 −4 f −1f −2 x 0≈ h⁴
Cómo se deduce f''?
(Sección 6.2- Libro de Mathews-Fink)
Cómo se deduce f''?
El primer término...
(Parte I)
Contenido
Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones en derivadas parciales elípticas Ecuación de Laplace Aproximación de operadores diferenciales Fórmula de diferencias centradas para f' u f'' Construcción de sistema de ecuaciones
Laplace con condiciones de dirichlet Laplacecon condiciones de Neumann (mixtas)
Resolución del sistema de ecuaciones
Ecuaciones en derivadas parciales
Involucran una función desconocida u de dos o más variables independientes Válida sobre un dominio geométrico => discretización Condiciones de borde e iniciales (Sección 10.3, capítulo 10, Mathews-Fink, apuntes de MC. Rivara)
Clasificación de EDPs clásicas∂² u ∂ ²u ∂ ²u ∂u ∂u A B C =f x , y , u , , ∂ x² ∂ xy ∂ y² ∂x ∂y
para x 0 xx f , y 0 y y f
0
y con las condiciones de borde para un dominio rectangular
f f
u x , y 0 =b y x , u x , y f =b y x u x 0, y =b x y , u x f , y =b x y
0
Estas EDPs pueden ser clasificadas en tres grupos:
EDP elíptica si: EDP parabólica si: EDP hiperbólica si:
B²−4AC0B²−4AC=0 B²−4AC0
EDPs Elípticas
Problemas de estado estacionario (no son función del tiempo)
Ecuación de Laplace Ecuación de Poisson
∂² u ∂²u =0 en Ω ∂ x² ∂ y² ∂² u ∂²u en Ω =f x , y ∂ x² ∂ y²
Condiciones de borde
Dirichlet Neumann
u=f 1
∂u =f ∂n 2
en
Ƭ1
en Ƭ2
Ejemplo: Ecuación de Laplace
Si tenemos
∂² u ∂²u =0 ∂ x² ∂y²
con
u=f 1
en Ƭ
Que deseamos encontrar? Cómo resolverla? numéricamente Qué conceptos debemos utilizar?
Ejemplo: Ecuación de Laplace
Solución aproximada
Cómo la resolvemos? Usaremos diferencias finitas
Técnica numérica
Discretizar el dominio Aproximar los operadores diferenciales por operadores de diferencias
∂² u ui−1j−2u ij u i1j ≈ ∂ x² h²
Laplaciano:
Cómo se deduce?
Usar aproximaciones de derivadas
Límite del cuociente incremental:
f ' x =lim
h 0
f xh−f x h
f x ih−f x i f i 1−f i f ' x ≈ = h h
Aproximación buena solo para h pequeños
(Detalles en sección 6.1, Mathews-Fink)
Cómo se deduce? (...)
Fórmula de diferencias centradas:
Teorema Fórmulacentrada de orden O(h²). Supongamos que
f ∈C³[ a , b]
y que
f ' x ≈
x−h , x , xh∈[ a , b]
entonces:
f xh−f x −h 2h
Es más, existe un número
f ' x ≈
c=c x ∈[a , b ] tal que
f xh−f x −h E trunc f ,h 2h
siendo
−h²f 3 c E trunc f , h= =Oh² 6
Cómo se deduce? (...)
Demostración:
Usamos fórmula de Taylor deorden 2 de f alrededor de x para
f(x-h) y f(x+h)
f 3 c 1 h³ f x h² f xh=f x f ' x h 2! 3!
2
f x h² f x−h=f x −f ' x h − 2!
2
f
3
c 2 h³ 3!
Restamos y obtenemos
f 3 c 1 f 3 c 2 h³ f xh−f x −h=2f ' x h 3!
Como
f
3
x es continua, usamos el teorema del valor intermedio
f 3 c 1 f 3 c 2 3 =f c 2
Cómo se deduce? (...)
Y ordenando términos obtenemos:
f xh−f x −h f 3 c h² f ' x = 2h 3!
(Primer término es la fórmula centrada y el segundo el error de truncamiento)
f xh−f x −h f ' x = O h² 2h
A continuación usaremos la siguiente notación:
f j1 −f j −1 f ' x j ≈ 2h
Fórmulas de derivaciónnúmerica
Fórmulas de diferencias centradas O(h²)
f 1−f −1 f ' x 0 ≈ 2h f
2
f 1−2 f 0f −1 x 0 ≈ h² f 2−f 1 2 f −1−f −2 x 0 ≈ 2h³
Se usa para discretizar el Laplaciano
f
3
f
4
f 2−4 f 16 f 0 −4 f −1f −2 x 0≈ h⁴
Cómo se deduce f''?
(Sección 6.2- Libro de Mathews-Fink)
Cómo se deduce f''?
El primer término...
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