Ecuaciones Lineales

UNEXPO PUERTO ORDAZ

ALGEBRA LINEAL

Lic ELIZABETH VARGAS

1

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
ANTONIO JOSÉ DE SUCRE
VICE RECTORADO DE PUERTO ORDAZ
VICE-RECTORADO

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE:
SOBRE
MATRICES
Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROFESORA: ELIZABETH VARGAS

PUERTO ORDAZ 2009

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ALGEBRA LINEAL

Lic ELIZABETH VARGAS

2

1)Resuelva los sistemas dados usando el método de eliminación de Gauss con
sustitución regresiva.

‫ ݔ‬+ 5‫ ݕ‬+ 4‫ ݖ‬− 13‫ = ݓ‬3
a) ൝ 3‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 2‫ ݖ‬+ 5‫ = ݓ‬2
2‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ 3‫ ݖ‬− 4‫ = ݓ‬1

A=Matriz de los coeficientes

Solución: Se procede a escalonar la matriz A para ello se usan las
operaciones elementales por fila:
1
൭3
2

5
−1
2

4
2
3

1
ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ቌ0
0
ଵ
ି ௙మା௙య →௙య
ଶ

−13 3 −3݂ + ݂ → ݂
1
ଵ
ଶ
ଵ
> ൭0
5 อ 2൱
−2݂ଵ + ݂ଷ → ݂ଷ
−4 1
0
5
−16
0

4
−10
0

−13 3
ቍ
44 อ −7
ଷ
ି
0
ଶ

Luego el sistema equivalente es:

5
−16
−8

4
−10
−5

−13 3
44 อ −7൱
22 −5

‫ ݔ‬+ 5‫ ݕ‬+ 4‫ ݖ‬− 13‫ = ݓ‬3
0‫ ݔ‬− 16‫ ݕ‬− 10‫ ݖ‬+ 44‫ = ݓ‬−7
0‫ ݔ‬+ 0‫ ݕ‬+ 0‫ ݖ‬+ 0‫ = ݓ‬−యమ

De la última ecuación se obtiene 0 = − ଶ , lo cual es falso, por lo tantoel
ଷ

sistema no tiene solución.
b) ൝

‫ ݔ‬− 3‫ ݕ‬+ 4‫ ݖ‬− 2‫ = ݓ‬5
2‫ ݕ‬+ 5‫ ݖ‬+ ‫ = ݓ‬2
−3‫ ݖ‬+ ‫ = ݕ‬4

Solución: Se procede a escalonar la matriz A para ello se usan las
operaciones elementales por fila:
1 −3 4
൭0 2
5
0 1 −3

−2 5 ௙మ ↔௙య 1
1 อ 2൱ ሱۛۛሮ ൭0
0 4
0

−3 4
1 −3
2
5

El sistema equivalente es:

−2 5 ିଶ௙మ ା௙య →௙య 1
0 อ 4൱ ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ൭0
1 2
0

‫ ݔ‬− 3‫ݕ‬+ 4‫ ݖ‬− 2‫ = ݓ‬5
൝
‫ ݕ‬− 3‫ = ݖ‬4
11‫ ݖ‬+ ‫ = ݓ‬−6

−3 4
1 −3
0 11

−2 5
0อ 4൱
1 −6

Hay 3 ecuaciones y 4 incógnitas por lo tanto el sistema tiene infinitas
soluciones: para hallar la solución general se expresan las incógnitas en
función de una de ellas, por ejemplo se fija la variable z y se expresan x e
y en función de z obteniéndose:

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‫ = ݓ‬−6 − 11‫ݖ‬
‫ = ݕ‬4 + 3‫ݖ‬
‫ = ݔ‬5 + 3‫ ݕ‬− 4‫ ݖ‬+ 2‫ݓ‬

En la última ecuación se sustituye w e y obteniéndose:
Así la solución general del sistema dado es:
‫ݔ‬
5 − 17‫ݖ‬
‫ݕ‬
ቌ ቍ = ቌ −3‫ ݖ‬ቍ
‫ݖ‬
‫ݖ‬
‫ݓ‬
−6 − 11‫ݖ‬

La cual se puede expresar así:

3

‫ = ݔ‬5 − 17‫ݖ‬

con ‫ܴ ∈ ݖ‬

−17
5
ቌ 0 ቍ + ‫ ݖ‬ቌ −3 ቍ
0
1
−11
−6

Para hallar solucionesparticulares del sistema se le da valores a z, por
ejemplo:

5
Para z=0 se obtiene la solución ቌ 0 ቍ
0
−6

−12
Para z=1 se obtiene la solución ቌ −3 ቍ
1
−17

2) ¿Qué condiciones deben cumplir a,b,c para que el sistema dado tenga
‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬− 3‫ܽ = ݖ‬
solución?
൝2‫ ݔ‬+ 6‫ ݕ‬− 11‫ܾ = ݖ‬
‫ ݔ‬− 2‫ ݕ‬+ 7‫ܿ = ݖ‬
Solución.
1
൭2
1

2
6
−2

−3
−11อ
7

ܽ
1
ିଶ௙ ା௙ →௙
ܾ ൱ భ మమ > ൭0
ି௙భ ା௙య →௙య
ܿ
0

2
2
−4

ܽ
−3
௙మ ା௙య →௙య 1
−2ܽ
+ ܾ൱ ሱۛۛۛۛۛሮ ൭0
−5อ
ܿ−ܽ
10
0

2
2
0

Si −5ܽ + 2ܾ + ܿ = 0: El sistema tiene infinitas soluciones.

ܽ
−3
−2ܽ
+ܾ ൱
−5อ
−5ܽ
+
2ܾ
+ܿ
0

Si −5ܽ + 2ܾ + ܿ ≠ 0 El sistema no tiene solución.

El sistema dado tiene solución si a,b,c satisfacen la condición −5ܽ + 2ܾ + ܿ = 0

Por ejemplo si a=0, b=1, entonces c=-2,luego el sistema dado se transforma

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4

‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬− 3‫ = ݖ‬0
൝2‫ ݔ‬+ 6‫ ݕ‬− 11‫ = ݖ‬1 Se deja al lector para que resuelva este sistema.
‫ ݔ‬− 2‫ ݕ‬+ 7‫ = ݖ‬−2

3) Halle los valores de α y β para que el sistema dado sea compatible:
3‫ ݔ‬− 7‫ߙ = ݕ‬
‫ݔ‬+‫ߚ= ݕ‬
൞
5‫ ݔ‬− 13‫ = ݕ‬5ߙ − 2ߚ
‫ ݔ‬+ 2‫ ߙ = ݕ‬+ ߚ − 1

Una vezhallado el valor de α y β, el lector debe sustituirlos en el sistema y
buscar la solución del mismo.
ߙ
‫ ۇ‬3 −7
‫ ۊ‬௙భ ↔௙మ ‫ۇ‬
ተ
ߚ
‫ ۈ‬1 1 ተ
‫ ۋ‬ሱۛۛሮ ‫ۈ‬
5 −13
5ߙ − 2ߚ
ߙ+ߚ−1 ‫ی‬
‫ ۉ‬1 2
‫ۉ‬

1 1
ߚ
‫ ۊ‬−3݂ଵ + ݂ଶ → ݂ଶ
ߙ
3 −7 ተተ
‫ ۋ‬−5݂ଵ + ݂ଷ → ݂ଷ →
5ߙ − 2ߚ
5 −13
– ݂ଵ + ݂ସ → ݂ସ
ߙ+ߚ−1 ‫ی‬
1 2

ߚ
ߚ
‫ ۇ‬1 1
‫ ۊ‬௙మ ↔௙ర ‫ ۇ‬1 1 ተ
‫ ۊ‬18݂ଶ + ݂ଷ → ݂ଷ ‫ۇ‬
ተተ
0...