Ecuaciones simultaneas de primer grado

Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos variables:
X + 6y = 27
7x – 3y = 9
Los valores de x, de y con los mismos en ambas ecuaciones.
Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el valor de
cada variable; obviamente se necesitan 2 ecuaciones.
Hay varios métodos:
1)
Primer método: Eliminación por igualación: Se despeja en
ambas ecuaciones una de las variables y seigualan sus valores.
Ejemplo: Tomemos las ecuaciones 3x + 5 y = 7
2x – y = -4
Despejemos x con ambas ecuaciones e igualemos sus valores:

7 − 5y
3
Resolvamos:
x=

;

x=

2 (7 – 5y) =

⇒

7 − 5y y − 4
=
3
2

3 (y - 4)

14 – 10y

y−4
2

3y – 12

=

26

= 13y

y = 2
Ahora reemplacemos el valor de y con una de las ecuaciones:
3x + 5y

= 7

3x + 5 (2)

= 7

3xx

Germán Giraldo

= 7 - 10
= -1
Solución =

34

(-1,2)

Ahora podemos hacer la representación gráfica de las 2 ecuaciones
en un solo plano cartesiano. Escribamos como primer punto la
solución (-1,2) y otros dos puntos:
7 − 5y
Primero: 3x + 5y = 7; x =
3
X
Y
Segundo: 2x – y = -4;
X
Y

-1
2

0
2
1
5
y−4
x=
2

-1
2

-3
1
3
5

-2
0

0
4

Ubicamos enun plano cartesiano los tres puntos de la primera
ecuación y al unirlos, obtenemos una recta que se corta en el punto
(- 1,2) con la recta que resulta de unir los tres puntos de la segunda
ecuación. Ese punto (- 1,2) es la solución gráfica del sistema de las
dos ecuaciones.
2) Método eliminación por sustitución.
Ejemplo: 32 x = 25 y + 13
15 y + 16 x = 1
despejamos en una de las ecuacionesuna variable y sustituímos su
valor hallado en la otra.
Por ejemplo: en la primera x =

25 y + 13
32

sustituímos la x en la segunda quedando así:

⎛ 25 y + 13 ⎞
15 y + 16 ⎜
⎟ = 1
32
⎝
⎠
Simplificando 16 y 32 queda:
25 y + 13
=1
2
m.c.m. = 2
30 y + 25 y + 13 = 2
55 y = - 11
1
y=Germán Giraldo
5
15 y +

35

De la misma forma que procedimos en el ejemplo anterior,podemos
dibujar la gráfica de este sistema de ecuaciones.
Para encontrar el valor de x, tomamos cualquiera de los valores
hallados para x en una de las ecuaciones y sustituímos la y por el
valor hallado:

⎛ 1⎞
25 ⎜ − ⎟ + 13
35 y + 13
8
1
− 5 + 13
⎝ 5⎠
=
=
=
=
x=
32
32
32
32 4
3) Método de reducción (suma y resta)
7 x – 1 = 15 y
- 8 – x = 6 y:
Ordenamos las ecuaciones a suposición canónica:
7 x – 15 y = 1
-x - 6y=8
Eliminamos una de las variables, multiplicando ambas ecuaciones por
números tales que la variable pueda cancelarse:
(2)(7 x – 15 y) = (1) (2)
- 5 (- x – 6 y) = (8) (- 5)
Quedan así:
14 x – 30 y =
2
5 x +30 y = - 40
19 x
x
x

= - 38
38
= −
19
= - 2

Para hallar el valor de y, despejamos esta incógnita:
-8–x=6y ⇒

−8− x
= y
6

y=-1S=

− 8 − ( − 2)
= y
6

⇒

{( − 2, − 1)}

Germán Giraldo

36

⇒

−6
= y
6

Podemos después dibujar la gráfica.
Ejercicios:
Resolver los siguientes sistemas por cualquier método y dibujar la
gráfica:
1) 8 m – 5 = 7 n – 9
6m
=3n+6
3) 3(x + 2) = 2 y
2 (y + 5) = 7 x

2) m – 1 =
3n- 7 =

n+1
m+3

4)(b – c) – (6 b + 8 c) = - (10 b + 5 c + 3)
(b + c) – (9 c – 11b) = 2 c – 2 b

5) 5 (p + 3q) – (7 p + 8 q) = 6
7 p – 9 q – 2 (p – 19 q) = 0

6) 2 (m + 5) = 4 (n – 4 m)
10(n – m) = 11 n – 12 m

7) 3x - 4y - 2(2x - 7) = 0
5(x - 1) – (2y - 1) = 0

8) x (y – 2) – y (x – 3) = - 14
y (x – 6) – x (y – 9) =
5

Resolver los siguientes sistemas por un método, combinando los tres:

3x
+ y = 11
2
9)
y
x + =7
2
11) 12 x + 5 y + 6 = 0
5x 7 y
−
= −12
3
6

13)

15)

17)

y−3
+ 3x
5
x−2
9+
=3y
7
6=−

x
+ y = 2b
a
x
− y=a−b
b
18
+
x
12
+
x

7
19
=−
y
2
5
13
=−
y
2

Germán Giraldo

5x
− y = 9
12
10)
3y
= 15
x −
4
1 + 5x
12) y = −
4
3y + 3
−
=x
4
y − x 2x + y
17
14)
−
=−
3
2
24
x−2
y−7
=
x+2
y−5

16)

18)

x+b y−b a+b
+
=
a
b
b
x−a y−a
a+b
−
=−
b
a
a
2...