EcuacionesDiferenciales b

SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Cuando se resuelven ecuaciones diferenciales por métodos numéricos, siempre se
obtienen soluciones particulares.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Una ecuación diferencial la podemos ver como:
dy
f
f
f
f
f
f
f
f ` a
=f x
dx

Puede haber casos en que tengamos algo así:
a
dy
f
f
f
f
f
f
f
f `
= f x,y
dx

En este caso la funcióndepende de las dos variables, esto es típico en Ingeniería
Química.
Si tenemos una ecuación de orden superior la podemos transformar a una ecuación de
primer orden. Ejemplo:

3y. + 2y. @ 2y = 16
Lo que haríamos sería transformarla en un sistema de dos ecuaciones de primer orden.
Una ecuación de orden 4 se transformará a 4 ecuaciones de primer orden.
Hacemos los siguiente:
w = y. [ w. = y.
En esteejemplo, nuestro sistema de ecuaciones queda como sigue:

3w. + 2w @ 2y = y.
y. = w

Q

Sistema de
ecuaciones

Reordenando términos tenemos:
10
@
2f
w
+
2f
yf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
3
y. = w
w. =

Necesitamos un punto base para arrancar desde ahí la aproximación.
En problemas de valores iniciales, la aproximación es directa.
1

En problemas devalores a la frontera tenemos que combinar con un método de
búsqueda de raíces (prueba y error) con el método de resolución de ecuaciones
diferenciales.
Nos vamos a apoyar en el polinomo de Newton y en el de Taylor.
METODOS DERIVADOS DE LA EXPANSION EN SERIES DE TAYLOR.
Se basan en lo siguente:
b
c
b ` a c
df
f
f
f
f
f ` a
g t = f g t ,t
dt
` a

b c

b cb

g t = g t 0 + g. t 0

b cb

c2

b cb

c3g.
tf
tf
@
tf
g/f
tf
tf
@
tf
0f
0f
0f
0f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
t @ t0 +
+
+…
2!
3!
c

todas las derivadas siguientes son con respecto a t.

` a

b c

d b c

g t = g t 0 + f g t 0 ,t 0

eb

d b c

eb

c2

c f . g t 0 ,y 0 t @ t 0
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
ff
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
t @ t0 +
+…
2!

1.- METODO DE TAYLOR.- No se aplica demasiado porque, dependiendo del orden,
se puede extender mucho.
En órdenes bajos lo usaríamos así:
dy
f
f
f
f
f
f
f
f ` a
=f x
dx
x = xn ; y = yn
`

y1 = y 0 + f . x o

a`

`

a

`

a

f.f
xf
xf
`f
a2 f/f
`f
a3
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
ff
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
0f
0f
x1 @ x 0 + f
x1 @ x 0 + f
x1 @ x 0 + …
2!
3!
a

Esto lo podemos poner como:
` a

` a

f.f
xf
f/f
xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f2
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f3
if
if
y i + 1 = y i + f. x i ∆x +
∆ x+
∆ x +…
2!
3!
x i + 1 = x i + ∆x
` a

Con estas dos ecuaciones calculamos el conjunto de puntos. Con x0 calculamos y0; con
x0 y ∆x calculamos x1;con x1 calculamos y1, y seguimos hasta donde nos interesa.
2.- METODO DE EULER.- Consiste en truncar la serie de Taylor hasta el segundo
término. Supone un comportamiento lineal en el intervalo. Este método hace que el
error de truncamiento sea pequeño controlando el ∆x.

2

`

y1 = y 0 + f. x 0

a `

a
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
ff
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x~
@ x}
{
~
~
~
~
~y
1~
0~
+ Error de truncamiento
h

Es decir, lo deja en la primera derivada.
Esto podemos escribirlo como:
b

c

y = y 0 + f x 0 ,y 0 h
b

c

y i + 1 = y i + f x i ,y i h
xi + 1 = xi + h

Para n subintervalos:
n=

xf
@
xf
nf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
0f
n
` a

y i + 1 = y i + f. x i ∆x
x i + 1 = x i + ∆x

Q

i=1,2,…, N-1Obviamente, conocemos los valores iniciales (punto base).
Lo que hacemos, para resolver desde a hasta b, parte del punto base y divide el intervalo
en N subintervalos. Un ∆x demasiado pequeño ocasiona error de redondeo.
El ∆x debe ser lo suficientemente pequeño como para minimizar el error de
truncamiento pero lo suficientemente grande como para no ocasionar error de redondeo.
Error de
truncamiento...