EDO_de_orden_superior - unidad 7

U.T.N – Facultad Regional Concordia

Análisis Matemático II – 2009

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
Una ecuación diferencial de orden n completa es de la forma:
dny
d n −1 y
d n−2 y
dy
an ( x) n + an −1 ( x) n −1 + an − 2 ( x) n − 2 + ........ + a1 ( x) + a0 ( x) y = f ( x) [1]
dx
dx
dx
dx

Si el término f ( x) ≡ 0 la ecuación es homogénea.
dny
d n −1 y
d n−2 y
dyan ( x) n + an −1 ( x) n −1 + an − 2 ( x) n − 2 + ........ + a1 ( x) + a0 ( x) y = 0
dx
dx
dx
dx
Si los coeficientes que acompañan a y son independientes de x, es decir, son constantes,
la ecuación diferencial se denomina con coeficientes constantes y su forma general es:
dny
d n −1 y
d n−2 y
dy
+ an −1 n −1 + an − 2 n − 2 + ........ + a1 + a0 y = f ( x) completa
n
dx
dx
dx
dx
nn −1
n−2
d y
d y
d y
dy
an n + an −1 n −1 + an − 2 n − 2 + ........ + a1 + a0 y = 0 homogénea
dx
dx
dx
dx
Si an = 1 , decimos que la ecuación está normalizada o escrita en forma normal.
an

Ejemplos:
d 3y
dy
a ) x 2 3 + x + x 4 y = sen x
dx
dx
2
d y
dy
b) 2 2 + 5 − 4 y = e x
dx
dx
5
d y
d 3y
dy
c) 5 − x 3 + x 3
+y=0
dx
dx
dx

Operadores
Sea A el conjunto detodas las funciones que poseen al menos n derivadas continuas en
el intervalo I, y sea B el conjunto de todas las funciones continuas en I. Con estas
consideraciones podemos considerar el lado izquierdo de [1] como una transformación
que asigna a cada elemento de A un elemento de B. esta transformación que va desde un
conjunto o espacio de funciones a otro es llamado un operador. Un operador queinvolucra las derivadas de las funciones de un conjunto se denomina operador
diferencial.
Los conjuntos A y B son espacios vectoriales, si un operador que transforma un espacio
vectorial en otro espacio vectorial es una transformación lineal, se denomina operador
lineal.
Entonces, el lado izquierdo de [1] es un operador lineal L [ y ] , que puede definirse como
dny
d n −1 y
d n−2 y
dy
+an −1 ( x) n −1 + an − 2 ( x) n − 2 + ........ + a1 ( x) + a0 ( x) y
n
dx
dx
dx
dx
, en consecuencia, la ecuación diferencial puede escribirse como
L [ y ] = f ( x)
L [ y ] = an ( x)

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Lic. Julio A. Ponce de León

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Análisis Matemático II – 2009

Solución General y Soluciones Particulares
Dada una ecuación diferencial lineal de orden nllamamos solución general de ella a
toda función y = g ( x, C1 , C2 ,...., Cn ) que la satisface.
Una solución particular de una ecuación diferencial linear es cualquier función que la
satisface, en general, estas soluciones se obtienen fijando las constantes C1 , C2 ,...., Cn en
la solución general.
Para determinar los n valores a asignar a las constantes deben imponerse n condiciones
que,pueden ser:

• Condiciones iniciales: si se dan todas sobre el mismo punto:
n
n
′
y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y0 , ... , y ( ) ( x0 ) = y ( ) 0
• Condiciones de contorno o condiciones en la frontera si se establecen sobre
diferentes puntos:
y ( x0 ) = y0 , y ( x1 ) = y1 , ... , y ( xn −1 ) = yn −1

Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones para ecuaciones lineales de
orden n
Dada laecuación diferencial de orden n
an ( x) y ( n ) + an −1 ( x) y ( n −1) + an − 2 ( x) y ( n − 2) + ........ + a1 ( x) y′ + a0 ( x) y = f ( x)

siendo f ( x), ai ( x), i = 1...n funciones continuas en un intervalo ( a, b ) . Si x0 ∈ ( a, b ) y si
(
′
y0 , y0 ,..., y0

n −1)

son constantes reales arbitrarias, la ecuación dada tiene una única

solución y ( x) en el intervalo ( a, b ) deforma que:
(
(
′
y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y0 ,..., y0 ) ( x0 ) = y0 )
Estas condiciones son suficientes, pero no necesarias, es decir, en el caso en que no se
verifique alguna de las condiciones establecidas en el teorema, no podemos conocer si
existe solución única o no al problema planteado. Observemos también que el teorema
se refiere a una solución local de una ecuación en un punto...