Ejecicios De Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRICA
SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES


Problema 1:
40ty(r)dr+ y(t)'= 0ty(r)cost-rdr y0=1

Solución:
yt'= 0t[yrcost-r- 4yr]dr
Lyt'= L[0tyr(cost-r-4)dr]
s.Lyr-y0 = y(r)* (cost-4)
s.Lyr-y(0)L[yr]= Lyr.L[cost-4]L[yr]s-1Lyr = Lcost-4
s-1Lyr =Lcost-L4
s-1Lyr = ss2+1-4s
1Lyr =s-ss2+1+4s
Lyr = ss2+1(s2+2)2
yr=L-1[ss2+1(s2+2)2]
yr= L-1[ss2+2(s2+2)2-L-1[s(s2+2)2]
yr=L-1s(s2+2)1-L-1s(s2+2)2
yr=cos2t-L-1ss2+2.22s2+2
yr=cos2-cos2*sin2t2
yr=cos2-1201cos2r.sin2t-rdr
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yr= cos2-122cos(2t-r)+122cos(2t)

Problema 2:
Una masa unida aun resorte se libera desde elreposo a 2 m por debajo dela p

Solución:
Antes de recibir el impulso (despreciando la resistencia del aire) la masa realiza un M. A. S.
md2xdt2+ kx=0
d2xdt2+ kmx=0

Desarrollando por transformadas (X0=2 , X'0=0 y x=Lx)
s2x-2s+ kmx=0
x=2ss2+km
Tomando L-1
xt=2coskmt x5=2coskm5
x't=-km2sinkmtx'5=-km2sinkm5
Para el instante en que recibe el impulso constante Po podemosexpresar la fuerza como Po δ(t-to)
md2xdt2+ kx=Po δ(t-to)d2xdt2+ kmx=Po mδ(t-to)
Tomando transformadas donde t(o) =5
s2x-s2coskm5+mk2sinkm5+ kmx=Pome-sto
x=Po e-stom+s2coskm5-km2sinkm5s2+km

Para
L-1Po m(ms2+k)=PomL-11s2+km=Pomsinmktmk=Pomksinmkt…(1)

L-12coskm5s2+km=2coskm5 coskmt….(2)
L-1mk2sinkm5s2+km=2sinkm5 senkmt….(3)
Ahora (2)- (3)L-1s2coskm5+mk2sinkm5s2+mk=L-1s2coskm5s2+mk-L-1mk2sinkm5s2+mk
=2coskm5 coskmt-2sinkm5 senkmt=2coskmt+5….(4)
Entonces tenemos:
x=L-1Po e-sto+s2coskm5+mk2sinkm5ms2+k

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=2coskm(t) t<5 Pomksinmk(t-5)+2coskm(t) t>5

Problema 3:
Considere un circuito RLC, con R = 110 ohmios. L = 1H,C = 0.001F y un generador que proporciona una f.e.m E(t)= 120cos2t Originalmente no hay corriente en el circuito ni carga en el condensador. En el instante t = 0 se cierra el interruptor, en t=4seg se abre el circuito y en t=12seg se cierra el circuito y se deja así, halle la intensidad de corriente resultante interprete geométricamente y halle los valores óptimos en el circuito.

solucion:

sabemos
Vr=ItR
Vr=1cIudu
Vr=It,L

Datos delproblema
I(0)=0 Q0=0

Et=ItR+It,,L+1c0tIudu
E(t)L=I(t),+ItRL+1Lc0tIudu

E(t)L=I(t),+ItRL+1Lc0tIudu
L120cos2tL(s)=LI(t),s+RLLIt(s)+1LcL0tIudu(s)
120LLcos2t(s)=LI(t),s+RLLIt(s)+1LcL0tIudu(s)
120Lss2+4=sLIt(s)+I0+RLLIt(s)+1LcLIt(s)s
Donde
LIt(s)=is I0=0
L-1is(t)=It
120Lss2+4=sis+0+RLis+1Lciss
120Lss2+4=s+RL+1Lcsis
reemplazando valores:
L=1 R=110 ohmios C=0.001F120ss2+4=s+110s+1000sis
120s2s2+4s+110s+1000=is
Aplicando la transformada
is=120s2s2+4s+110s+1000
L-1is=L-1120s2s2+4s+110s+1000

L-1is=120L-1ss2+4ss+110s+1000
L-1is=120L-1ss2+4ss+55)2-452
por convolucion tenemos
It=120 L-1ss2+4.L-1ss+55)2-452
It=120 cos2t.145e-55tsinh45t

It=120 cos2t*145e-55tsinh45t
It=120145 0tcos2u . e-55t+55usinh45t-udu
It=120145 0tcos2u .e-55t+55ue45t-45u-e-45t+45u2du
It=120145 0tcos2u . e-55t+55ue45t-45u-e-45t+45u2du
It=120145 120tcos2u . e-5t+5udu-120tcos2te-100t+100udu
It=120145 12e-5t0tcos2u . e5udu-12e-100t0tcos2te100udu
Integrando tenemos
Y dando forma

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It=43cos2t e10t-e-100t
Observación:
Notamos que si evaluamos en t= 0 o sea q(0) la respuesta es 0 , lo cual cumple con lacondición inicialmente dada

qt=e-10tsen(2t)39-5cos⁡(2t)39+539-e-100t2sen2t7503-100cos2t7503- 100 7503

Ahora
It=.It=0 ;t=0 . It= 3cos2t4e-10t-e-100t ;0<t<4 . .It=0 ;4≤t<12 It=34cos2te-10t-e-100t ;t≥12
para t=0 vemos q...