Ejemplo de parcial geometria vectorial

Universidad Nacional de Colombia - Escuela de Matemáticas Solución de Primer Parcial de Geometría Vectorial y Analítica (25%) Septiembre 10 de 2011 → → → → → 1. (Valor 25%) Sean − , − y − vectores geométricos en el plano tales que: − = 3 , − = 4, u v w u v − = 6, dir(− ) = 30◦ , dir(− ) = 270◦ y se sabe que dir(− ) < 180◦ y que el ángulo entre − y → → → → → w w v u u − es 120◦ → w → → a. ( 8 )Dibuje, con el mismo punto inicial, y señale claramente los siguientes vectores: − , − y u v −. → − proy→ v u → → → −→ u Dibujo de − (3) , dibujo de − (2) y dibujo de proy→ − (3). En el gráfico: u ←→ − , u v u v → − y p←→ − = proy→ − → → − v v←→ v p u

u 30 O p P

v
Figura 1:

→ → → b. ( 4 ) Exprese la proyección de − sobre − como múltiplo escalar de − . v u u − → u → → → −→ proy→ − = ( − cosα) donde α es el ángulo entre − y − . u v v v u u → → (1) {dir(− ) = dir(− ) + 120◦ = 30◦ + 120◦ = 150◦ u u → ◦ (1) {α = 270 − dir(− ) = 270◦ − 150◦ = 120◦ u − → − = 4 cos (120◦ ) u = − 2 − → → − (1) proy→ v u 3 u 3 (1) → → → c. ( 4 ) Ilustre gráficamente la descomposición de − en las direcciones de los vectores − y − w u v 1

Q bv R ω

u 30 O 30

au P v
Figura 2:

− = a− + b− con a < 0 yb < 0 → → → w u v

→ → → d. (9 ) Halle los escalares a y b tales que − = a− + b− . w u v (1){ En el triángulo OP R ( ver figura en literal c.) cada ángulo interior mide 60◦ .  − − → − → − − →  OR PR OP = = . (2) Por ley de senos, en el triángulo OP R, se tiene  sin 60◦ sin 60◦ sin 60◦ − − → − − → − → (1) OP = OR = P R − − → − − → → → → (1) OP = a− = |a| − = 3 |a| , OR = − = 6 u u w

− → − −→ → → (1) P R = OQ = b− = |b| − = 4 |b| . v v (1) {3 |a| = 6 = 4 |b| 3 (1) |a| = 2 y |b| = 2

(1){ Como se deduce del gráfico a < 0 y b < 0. Por lo tanto a = −2 y b = −

3 2

2

C

A 2

h

B 2

Figura 3: 2 3 7 1 4 6

2. (Valor 30%) Sean A =

,B=

,C=

.
− → AP − − → PB 3 5

(a) ( 6 ) Halle el punto P del segmento de recta AB tal que 5 3 5 (4) P = A + B = 8 8 8 (2) =
10 815 8

=

2 3 .

+

3 8

7 1

por teorema de la proporción.

+

21 8 3 8

=

31 8 9 4

b. ( 6 ) Calcule el ángulo interior del triángulo ABC en el vértice B. θ = ABC. − − → −→ − El ángulo interior al triángulo ABC en B es el ángulo entre los vectores BA y BC, o, equivalentemente, el ángulo θ entre A − B y C − B. (A − B) · (C − B) (2) cos θ = A−B C −B

3

2 7 4 7 − · − 3 16 1 2 7 4 7 − − 3 1 6 1  −5 −3   ·  2 5 (1) =  −5 −3   2 5 25 (1) = √ √ 29 34 25 37.23◦ (1) θ = cos−1 √ √ 29 34 c. ( 6 ) Encuentre una ecuación en la forma general para la recta que contiene la altura del triángulo ABC relativa al lado BC. (1) {La altura del triángulo ABC relativa al lado BC está sobre la recta L1 que pasa por el vértice A y es perpendicular a la recta L que pasa por B yC. −3 (2) {Un vector normal para la recta L1 es N = C − B = 5 (1) {Una ecuación en la forma normal para la recta L1 es N.X = N.A −3 x −3 2 (1) · = · 5 y 5 3 (1) {Una ecuación en la forma general para la recta L1 es −3x + 5y = 9. d. ( 6 ) Calcule la medida de la altura del triángulo ABC relativa al lado BC. − − → (1) {La medida de la altura del triángulo ABC relativa al lado BC es h = AB sen θ dondeθ es el ángulo hallado en el literal b). √ 5 (5) {h = B − A sen θ = sen (37.23◦ ) = 29sen (37.23◦ ) = 3.26 −2 e. ( 6 ) Calcule el área del triángulo ABC. −→ − BC h (base) (altura) (1) {El área del triángulo ABC es A = = 2 2 −3 √ (3.26) 5 34 (3.26) = = 9.50 (4) = 2 2 (1) {El área del triángulo ABC es 9.5 unidades cuadradas. Considerar otros métodos. 3. (Valor 15%) Considere la recta L1 que tieneecuaciones paramétricas la recta L2 paralela a L1 que pasa por el punto P0 = −3 5 x = 2 − 3t ; t∈R y y = −1 + t

    (1) =   

(a) ( 10 ) Encuentre una ecuación en la forma general para la recta L2 . 4

(2) {Como L1

L2 , un vector director de L2 es D2 = D1 =

−3 1

.

1 . 3 (2) {Una ecuación en la forma normal para L2 es N2 · X = N2 · P0 x 1 · = (2) {Una ecuación en la...