Ejemplos de limites - calculo diferencial

EJERCICIOS RESUELTOS
C´lcular los siguientes limites: a sen(8x) 4x cos(x) + 8x − 1 3x

1. l´ ım 2. l´ ım 3. l´ ım

x→0

x→0

cos3 (x) − 1 x→0 2x

Soluci´n o 1. l´ ım sen(8x) 4x

x→0Lo primero que hacemos es multiplicar arriba y abajo de la fracci´n por 8 : o 4

sen(8x) x→0 4x l´ ım

= = =

x→0

l´ ım

sen(8x) 4x
8 4 8 4

8 4 8 4

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

x→0l´ ım

sen(8x) 8 4 (4x)

sen(8x) x→0 8x 8 sen(8x) = l´ ım 4 x→0 8x sen(8x) = 2 l´ ım x→0 8x = 2(1) l´ ım = El grafico de esta funci´n es: o 2

Figura 1: Gr´fica de la funci´n f (x) = a osen(8x) 4x

1

En la igualdad (5) llegamos al limite de la forma: l´ ım sen(k) =1 k

k→0

Por lo que: sen(8x) =1 x→0 8x l´ ım

2. l´ ım

cos(x) + 8x − 1 x→0 3x

Soluci´n o

x→0

l´ ımcos(x) + 8x − 1 3x

= = = = = = = = = =

1 cos(x) + 8x − 1 3 x 1 cos(x) + 8x − 1 l´ ım 3 x→0 x cos(x) − 1 8x 1 l´ ım + 3 x→0 x x 1 − cos(x) 1 l´ ım −1 ∗ +8 3 x→0 x 1 1 − cos(x) l´ −1 ım + (−8)3 x→0 x 1 1 − cos(x) −1 l´ ım + (−8) 3 x→0 x 1 1 − cos(x) − + l´ −8 ım l´ ım x→0 3 x→0 x 1 − [0 − 8] 3 1 − [−8] 3
x→0

l´ ım

(8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17)

8 3

Figura 2:Gr´fica de la funci´n f (x) = a o

cos(x)+8x−1 3x

2

En la igualdad (14) usamos lo que ya se demostr´, es decir, usamos que: o l´ ım 1 − cos(x) =0 x

x→0

3. l´ ım

cos3 (x) − 1 x→0 2xSoluci´n o

cos3 (x) − 1 x→0 2x l´ ım

= = = = = = = = = =

1 cos3 (x) − 1 l´ ım 2 x→0 x [cos(x) − 1] cos2 (x) + cos(x) + 1 1 l´ ım 2 x→0 x 1 cos(x) − 1 l´ ım cos2 (x) + cos(x) + 1 2 x→0 x 1 −cos(x) 1 l´ ım −1 ∗ cos2 (x) + cos(x) + 1 2 x→0 x 1 − cos(x) 1 cos2 (x) + cos(x) + 1 l´ −1 ım 2 x→0 x 1 1 − cos(x) − l´ ım cos2 (x) + cos(x) + 1 2 x→0 x 1 − cos(x) 1 l´ cos2 (x) + cos(x) + 1 ım − l´ ımx→0 2 x→0 x 1 − [0]{cos2 (0) + cos(0) + 1} 2 1 − [0]{1 + 1 + 1} 2 0

(18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27)

Figura 3: Gr´fica de la funci´n f (x) = a o

cos3 (x)−1 2x

3

En...