Ejercicios De Cálculo Vectorial

´ Indice general
1. Extremos de funciones 2. Parametrizaci´n, Triedro de Frenet o 3. Coordenadas curvil´ ıneas 4. Integrales de trayectoria y de l´ ınea 5. Integrales Iteradas 6. Teoremas Integrales 2 21 34 41 50 57

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Cap´ ıtulo 1

Extremos de funciones
1. Sea f (x, y) = Ax2 + B con A = 0. ¿Cu´les son los puntos cr´ a ıticos de f ? ¿Son m´ximos locales o m´ a ınimos locales? Soluci´n.Los puntos cr´ o ıticos son aquellos en los que las derivadas parciales son iguales a cero: ∂f = 2Ax = 0 ∂x ∂f = 0. ∂y De donde x = 0. Como no hay condici´n sobre y, los puntos cr´ o ıticos son entonces los de coordenadas (0, y), es decir, el eje y. El discriminante es 0, por lo que el criterio de la segunda derivada no ayuda en este caso. Sin embargo, es f´cil ver que si A > 0, la funci´n a og(x) = Ax2 tiene su m´ ınimo en x = 0, por lo que los puntos cr´ ıticos corresponden a m´ ınimos locales en este caso. De igual manera, si A < 0, los puntos cr´ ıticos corresponden a m´ximos locales. a 2. Sea f (x, y) = x2 −2xy +y 2 . Aqu´ el discriminante es igual a cero. ¿Qu´ son ı e los puntos cr´ ıticos: m´ ınimos locales, m´ximos locales o puntos silla? a Soluci´n. Los puntos cr´ o ıticos sonaquellos en los que las derivadas parciales son iguales a cero: ∂f = 2x − 2y = 0 ⇒ x = y ∂x ∂f = −2x + 2y = 0 ⇒ x = y. ∂y Entonces los puntos cr´ ıticos tienen coordenadas (a, a). La funci´n se puede o escribir como f (x, y) = x2 − 2xy + y 2 = (x − y)2 , que en los puntos cr´ ıticos es igual a 0: el menor valor posible para un cuadrado de valores reales; por lo tanto, los puntos cr´ ıticos son m´ınimos locales. 2
Si el criterio de la segunda derivada no decide, no significa que no se pueda encontrar la naturaleza de un punto cr´ ıtico por otros medios.

3. Dada la funci´n f (x, y) = y arctan(x), encuentra sus puntos cr´ o ıticos y determina la naturaleza de cada uno de ellos.
[Primer Examen Final “B” 2005-1 Problema 1]

Soluci´n. Las condiciones para que un punto sea cr´ o ıtico son:∂f = arctan(x) = 0 ⇒ x = 0 ∂y ∂f y ⇒ y = 0. = ∂x 1 + x2 Por lo que el unico punto cr´ ´ ıtico es el origen. Adem´s, fyy = 0 y fxy = a por lo que D= ∂2f ∂y 2 ∂2f ∂x2 − ∂2f ∂x ∂y
2 1 1+x2

=−

1 1 + x2

2

< 0,

en (0, 0). Entonces, (0, 0) es el unico punto cr´ ´ ıtico y es un punto silla. 4. Determina la naturaleza de los puntos cr´ ıticos de la funci´n f (x, y) = e6xy . o
[Primer ExamenParcial “A” 2005-1 Problema 1]

Soluci´n. En los puntos cr´ o ıticos, las primeras derivadas parciales son cero: fx = 6ye6xy = 0 fy = 6xe6xy = 0. Como e6xy = 0 para cualesquiera valores de x y de y, la unica soluci´n al ´ o sistema es cuando x = y = 0. Las segundas derivadas son: fxx = 36y 2 e6xy fyy = 36x2 e6xy fxy = 36xye6xy + 6e6xy . El valor del discriminante en el origen es D = 0 · 0 − 62 =−36 < 0. Por lo tanto, el origen es el unico punto cr´ ´ ıtico y es un punto silla. 5. Determina la naturaleza de los puntos cr´ ıticos de la funci´n f (x, y) = o x3 + y 3 − 3xy.
[Primer Examen Parcial “A” 2004-2 Problema 1]

Soluci´n. Al igualar la primeras derivadas a cero, obtenemos que: o fx = 3x2 − 3y = 0 fy = 3y 2 − 3x = 0 ⇒ x2 = y y2 = x

de donde x4 = x ⇒ x(x3 − 1) = 0, que tiene comosoluciones reales a 0 y 1, de manera que hay dos puntos cr´ ıticos: P1 (0, 0) y P2 (1, 1). Las segundas 3

derivadas son fxx = 6x, fyy = 6y y fxy = −3. El valor del discriminante en cada punto cr´ ıtico es D1 = −9 y D2 = 36 − 9 = 27, respectivamente, por lo que P1 es un punto silla mientras que P2 es un m´ ınimo debido a que fxx > 0 en P2 . Es util ver los puntos cr´ ´ ıticos en la gr´fica de lafunci´n, a o que se muestra en la Fig. 1.1.

Figura 1.1 Gr´fica de f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy y sus curvas de nivel a

6. En los siguientes ejercicios, encuentra los puntos cr´ ıticos de f y determina si son m´ximos, m´ a ınimos o puntos silla. a) f (x, y) = x2 − y 2 + xy b) f (x, y) = x2 + y 2 + 2xy c) f (x, y) = e1+x
2

−y 2

d ) f (x, y) = 3x2 + 2xy + 2x + y 2 + y + 4 e) f (x, y)...