Ejercicios de calculo 1con Valor absoluto

1

Cap´ıtulo 5

Valor Absoluto
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ıguez S.

Instituto Tecnol´
ogico de Costa Rica
Escuela de Matem´
atica

···
Revista digital Matem´
atica, educaci´
on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

2
Cr´
editos

Primera edici´
on impresa:
Edici´
on LaTeX:
Colaboradores:
Edici´
on y composici´
on final:
Gr´
aficos:
Comentarios y correcciones:

´
Rosario Alvarez,1984.
Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´
on, Marianela Abarca, Lisseth Angulo.
y Walter Mora.
Cristhian Pa´ez, Alex Borb´
on, Juan Jos´e Fallas, Jeffrey Chavarr´ıa
Walter Mora.
Walter Mora, Marieth Villalobos.
escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Contenido
5.1

5.1

Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto . . .
5.1.1 Propiedades del valor absoluto . . . . . . .
5.1.2 Ecuaciones queinvolucran valor absoluto .
5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto

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. 3
. 5
. 11
. 25

Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto

Nuestro objetivo en este cap´ıtuloes lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran
valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a = 0, y x
es una variable real.
Para esto conviene recordar la definici´on de valor absoluto siguiente:
Para cada n´
umero real x, se define su valor absoluto (y se denota |x| ) de la siguiente manera:
|x|

=

x

si

x≥

0

x

<

0

o
|x|

=

−x

si

Esta definici´on frecuentemente se denota de la siguiente manera:

|x| =

x
−x

si
si

x≥0
x<0

Aplicando esta definici´on a expresiones de la forma ax + b se tiene:

|ax + b| =

ax + b
−(ax + b)

Usando la definici´on de valor absoluto se tiene:

Ejemplo 1

x+5

|x + 5| =

−(x + 5)

si

x+5≥0

si

x+5<0
3

si
si

ax + b ≥ 0
ax + b < 0

4

Valor Absoluto

pero:x+5≥0

⇐⇒

y

x +
5 < 0 ⇐⇒
x+5

∴ |x + 5| =

−(x + 5)

x ≥ −5
x < −5
si x ≥ −5
si

x < −5

Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta informaci´on en la tabla siguiente:
−∞
|x + 5|

Ejemplo 2

x−7

|x − 7| =

−(x − 7)

si

x−7≥0

si

x−7<0

pero:

x−7≥0

⇐⇒

x≥7

y

x−7<0

⇐⇒

x<7



∴ |x − 7| =



x−7

si

x≥7

−(x − 7)

si

x<7

−5
−(x + 5)

+∞
x+5

y en forma resumidapodemos escribir:
−∞
|x − 7|

Ejemplo 3


| − 2x + 3| =


pero:

−2x + 3

si

−2x + 3 ≥ 0

−(−2x + 3)

si

−2x + 3 < 0

−2x + 3 ≥ 0

⇐⇒

−2x ≥ −3,

y

−2x + 3 < 0 ⇐⇒ −2x < −3,


−2x + 3 si x ≥


∴ | − 2x + 3| =


 −(−2x + 3) si x <
y en forma resumida podemos escribir:

7
−(x − 7)

o sea

x≤

3
2

o sea

x>

3
2

3
2
3
2

+∞
x−7

J. Rodr´ıguez S. A. Astorga M.
−∞
| − 2x + 3|

Ejemplo 4

| − 3 − 5x| =


−3 − 5x

si

−3 − 5x ≥ 0

−(−3 − 5x)

si

−3 − 5x < 0

3/2
−2x + 3

o sea

x≤

−3
5

−3 − 5x < 0 ⇐⇒ −5x < 3, o sea

−3

−3 − 5x si x ≤


5
∴ | − 3 − 5x| =


 −(−3 − 5x) si x > −3
5

x>

−3
5

pero:

−3 − 5x ≥ 0

⇐⇒

−5x ≥ 3,

y

5

+∞
−(−2x + 3)

y en forma resumida podemos escribir:
−∞
| − 3 − 5x|

5.1.1

−3/5
−3 − 5x

+∞

−(−3 − 5x)

Propiedades del valor absolutoEnunciaremos a continuaci´on algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podr´an ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resoluci´on de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1
∀x, x ∈ R : |x| ≥ 0

Demostraci´
on


x ∈ R : |x| =


x

si

x≥0

−x

si

x<0

Hay dos posibles casos:
Caso 1: x ≥ 0
x ≥ 0 =⇒ |x| = x
∴ |x| ≥ 0

6

Valor Absoluto

Caso 2: x < 0
x < 0=⇒ |x| = −x
∴ |x| ≥ 0; pues x < 0 =⇒ −x > 0
Propiedad 2
Si x ∈ R y |x| = 0 entonces x = 0

Demostraci´
on: (ejercicio para el estudiante)
Propiedad 3
Si x ∈ R, y ∈ R entonces |x · y| = |x| |y|

Demostraci´
on
Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:
∀a, a ∈ R : |a| =

√
n

an , si n es par (ver p´agina 94)

en particular:
|a| =

√

a2 ; ∀a, a ∈ R

Usando esta definici´on se tiene...