Ejercicios De Ecuaciones

Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones Lineales
1. Resolver los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por el método de igualación:
a) 

4 x − 3 y = 11  − x + 7 y = −9

Solución:

11 + 3 y  4 x − 3 y = 11  x= 11 + 3 y  = 7y + 9 4 → → − x + 7 y = −9  4  x = 7y + 9 
11 + 3 y = 28 y + 36; − 25 y = 25; y = −1 → x = 2

2 x + 4 y = 20 b)  7 x − 3 y = 19
Solución:20 − 4 y  2 x + 4 y = 20 20 − 4 y 19 + 3 y  2  → =  → 19 + 3 y  2 7 7 x − 3 y = 19 x= 7   19 + 3 y 10 − 2 y = ; 70 − 14 y = 19 + 3 y; 51 = 17 y 7 luego: y = 3 → x = 4 x=

3 x − 8 y = −7 c)  x + 2 y = 0
Solución:

− 7 + 8y  x= 3 x − 8 y = −7  → 3 →  x + 2 y = 0  x = −2 y  − 7 + 8 y = −6 y; − 7 = −14 y; y=

− 7 + 8y = −2 y 3 1 ; x = −1 2

2. Resolver los siguientessistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por el método de sustitución:
8 x − 6 y = 12 a)  3 x + 4 y = −8

1

Solución:

8 x − 6 y = 12  3 x + 4 y = −8

12 + 6 y   36 + 18 y 8  + 4 y = −8 →  8  12 + 6 y   3  + 4 y = −8   8   x= y = −2; x = 0

36 + 18 y + 32 y = −8; 36 + 50 y = −64; 8 2 x + 4 y = 14 b)  − 4 x + y = −1
Solución:

2 x + 4 y = 14  − 4 x + y = −1→ x=

14 − 4 y = 7 − 2 y; 2

− 4(7 − 2 y ) + y = −1

− 28 + 8 y + y = −1; x + 8 y = 0 c)  8 x − 4 y = −15
Solución:

y = 3; x = 1

x + 8 y = 0  8 x − 4 y = −15 15 1 y= = ; x = −2 60 4

x = −8y;

8(−8 y ) − 4 y = −15; − 60 y = −15;

3. Resolver los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por el método de reducción:
2 x + 3 y = 1 a)  4 x − 7 y = 15Solución: Si multiplicamos la de arriba por dos: 

2 x + 3 y = 0 4 x + 6 y = 2 (× 2) →  4 x − 7 y = 15 4 x − 7 y = 15 y = −1; x = 2

Restamos ambas ecuaciones: − 13 y = 35;

3 x − 6 y = 39 b)   x + 3 y = −2
Solución:

3 x − 6 y = 39  2 x + 6 y = −4 ( × 2)

y en este caso sumamos ambas: 5 x = 35;

x = 7; y = −3

2

c) 

− 2 x − 6 y = −12 3 x + 4 y = 8

Solución:

− 3x − 9 y = −18 (× 3 / 2)  3 x + 4 y = 8 − 5 y = −10; y = 2; x = 0

y sumamos:

4. Resolver cada uno de los siguientes sistemas por los tres métodos: igualación, sustitución y reducción a) 

3 x − 2 y = 17  2 x + 3 y = −6

Solución:

17 + 2 y  x =  3 - Igualación:  x = − 6 − 3 y   2
luego: 34 + 4 y = −18 − 9 y;

→

17 + 2 y − 6 − 3 y = 3 2

y = −4; x = 3

-Sustitución: x = y = −4; x = 3

17 + 2 y  17 + 2 y  ; 2  + 3 y = −6; 34 + 4 y + 9 y = −18 3  3 

3 x − 2 y = 17 3 x − 2 y = 17  - Reducción:  → 9 2 x + 3 y = −6 3 x + 2 y = −9 (×3 / 2)  13 y restamos ambas: y = −26; y = −4; x = 3 2 3 x + 7 y = 12 b)  4 x − 4 y = 16
Solución:

12 − 7 y  x=   3 - Igualación:   x = 16 + 4 y = 4 + y   4 y = 0; x = 4

→

12 − 7 y = 4 + y → 12 − 7y = 12 + 3 y 3

3

- Sustitución: x= 12 − 7 y ; 3 y = 0; x = 4  12 − 7 y  4  − 4 y = 16 ;  3  48 − 28 y − 12 y = 48

.- Reducción: 3 x + 7 y = 12 3 x + 7 y = 12 →  4 x − 4 y = 16 3 x − 3 y = 12 (×3 / 4)
Sumamos ambas: 4 y = 0 → y = 0;

x=4

2 x + 6 y = 0 c)  x + 2 y = 2
Solución:

− 6y  = −3 y x = - Igualación:  → −3 y = 2 − 2 y ; 2 x = 2 − 2 y  - Sustitución: −6y  = −3 y 2 x + 6 y = 0 x = →  2  x + 2 y = 2 (−3 y ) + 2 y = 2  - Reducción: 2 x + 6 y = 0 2 x + 6 y = 0 →   x + 2 y = 2 (×2) 2 x + 4 y = 4 luego: y = −2; x = 6

y = −2; x = 6

y = −2; x = 6

Restamos ambas: 2 y = −4;

5. Estudiar gráficamente la existencia de solución de los tres sistemas del ejercicio anterior.

4

6. Discutir los siguientes sistemas y resolver porCramer cuando sea posible.

x − y + z = 1  a)  x + y + z = 3 2 x + 3 y + z = 6 
Solución:

 1 −1 1 1  1 − 1 1     * Tenemos: A =  1 1 1 y A =  1 1 1 3   2 3 1 6  2 3 1     * A = −2; → rg ( A) = 3 = rg ( A ) = n ,
Sistema Compatible Determinado, de solución única, que resolvemos por Cramer:

1 −1 1 3 x= 6 1 3 −2 1 −1 1 1 z= 2 1 3 −2 3 6 = −2 =1 −2 1 1 = −2 = 1;...