Ejercicios de rectas y planos

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ACTIVIDADES DE AMPLIACIO

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Ecuaciones de rectas y planos

1.

Un plano contiene el punto P (2, 0, Ϫ2) y la recta r : x Ϫ 1 ϭ y ϭ z. Calcula el valor de m que hace que el
vector n (m, Ϫm Ϫ 2, 2) sea un vector normal a dicho plano.

2.

Dado el segmento de extremos A (Ϫ3, 4, 4) y B (1, 12, 0), calcula las coordenadas de tres puntos P, Q y R tales
que dividan al segmento en cuatro partesiguales.
B
A

Q

P

R

3.

Dado el segmento de extremos A (1, 2, Ϫ3) y B (Ϫ4, 12, 2), calcula las coordenadas de un punto interior a dicho
segmento de manera que las distancias que lo separan de los extremos A y B este´n en la relacio´n de 2 a 5.

4.

Se considera el punto P de coordenadas P (Ϫ2, 1, 0):

A

a) Calcula las coordenadas del punto sime´trico de A (2, 1, 3) respecto de P.

b) Escribe lasecuaciones de la recta sime´trica de r :
respecto de P.

Ά

x ϭ 1 ϩ 2t
yϭ0
z ϭ Ϫ2 Ϫ t

r
α

P

α'

c) Escribe la ecuacio´n del plano sime´trico de ␣: x Ϫ 11y ϩ 2z ϩ 3 ϭ 0
respecto de P.

5.

Se considera el punto P (Ϫ1, 3, 0), la recta r :
y el plano ␣: x ϩ y Ϫ z ϩ 3 ϭ 0:

xϪ1
ϭyϭz
2

r'

α

r

a) Calcula un vector de direccio´n de r y un vector normal a ␣.

π

b) Halla la ecuacio´n del plano ␲ quecontiene a P, es paralelo
a r y perpendicular a ␣.

6.

Halla unas ecuaciones parame´tricas para el plano ␣: x Ϫ y ϩ 1 ϭ 0.

7.

Determina la ecuacio´n en forma continua de la recta que es paralela al plano
␣: 2x Ϫ y Ϫ z Ϫ 4 ϭ 0 y que corta perpendicularmente a la recta

s:

8.

Ά

A'

P

s

r

P

xϭ2Ϫt
y ϭ t ϩ 1 en el punto P (0, 3, Ϫ2).
z ϭ Ϫt

α

Tres ve´rtices de una de las caras de unparalelepı´pedo son los puntos A (1, 2, Ϫ1), B (0, 2, 1) y C (3, 2, Ϫ5).
a) Calcula las coordenadas del cuarto ve´rtice D de la cara considerada sabiendo que A y C son ve´rtices opuestos.
b) Sabiendo que todas las diagonales de paralelepı´pedo se cortan en el punto M (1, 4, 1), calcula las coordenadas
de los otros cuatro ve´rtices de la figura.
Algoritmo Matema
´ticas II – 2.o Bachillerato

Actividades deampliacio´n

SOLUCIONES
1.

2.

Como se ve, el punto P no pertenece a la recta r.
Por tanto, si se toman dos puntos de r, A (0, Ϫ1, Ϫ1)
y B (1, 0, 0), se consideran los vectores PA y PB y
se calcula su producto vectorial, se obtiene un vector
normal al plano.

A (1, 0, Ϫ2), B (Ϫ1, 0, Ϫ1) y C (2, 1, 3),

i
j
PA ϫ PB ϭ Ϫ2 Ϫ1
Ϫ1 0
m
Ϫm Ϫ 2
ϭ
ϭ
Ϫ2
3

␣:

AP ϭ

k
1 ϭ 2i ϩ 3j Ϫ k
2
2
mϭ4
Ϫ1

AЈ(Ϫ5, 2,2), BЈ(Ϫ3, 2, 1) y CЈ(Ϫ6, 1, Ϫ3),
ya que P es el punto medio de los segmentos
AAЈ, BBЈ y CCЈ.

5.

xϩ1 yϪ3 z
2
1
1 ϭ0
1
1
Ϫ1
␲: 2x Ϫ 3y Ϫ z ϩ 11 ϭ 0

b) ␲ (P, u, v )

B
P

p ϭ a ϩ AP ϭ (Ϫ3, 4, 4) ϩ (1, 2, Ϫ1) ϭ
ϭ (Ϫ2, 6, 3)

6.

q ϭ a ϩ 2 · AP ϭ (Ϫ3, 4, 4) ϩ (2, 4, Ϫ2) ϭ
ϭ (Ϫ1, 8, 2)

AP ϭ

2
2
AB ϭ
(Ϫ5, 10, 5) ϭ (Ϫ2, 4, 2)
5
5

␣:

7.

p ϭ a ϩ AP ϭ (1, 2, Ϫ3) ϩ (Ϫ2, 4, 2) ϭ
ϭ (Ϫ1, 6, Ϫ1)

4.zϩ3
ϭ0
2

b) Se toman dos puntos A (1, 0, Ϫ2) y B (Ϫ1, 0, Ϫ1)
de la recta r y se calculan sus sime´tricos AЈ y
BЈ. La recta buscada pasa por AЈ y BЈ.
AЈ(Ϫ5, 2, 2), BЈ(Ϫ3, 2, 1), ya que P es el punto
medio de los segmentos AAЈ y BBЈ.

r Ј:

Ά

x ϭ Ϫ5 ϩ 2t
yϭ2
z ϭ 2 Ϫt

Ά

x ϭ 1 Ϫ t Ϫ 2s
y ϭ 2 Ϫ t Ϫ 2s
z ϭ Ϫ1 ϩ 2t ϩ 3s

Los vectores de direccio´n de r debera´n ser perpendiculares al vector v (Ϫ1, 1,Ϫ1), vector de direccio´n de s, y al vector w (2, Ϫ1, Ϫ1), vector normal
de ␣. Por tanto, un vector de direccio´n de r es:

i
j k
u ϭ v ϫ w ϭ Ϫ1 1 Ϫ1 ϭ (Ϫ2, Ϫ3, Ϫ1)
2 Ϫ1 Ϫ1
u es paralelo al vector (2, 3, 1)
x
yϪ3
zϩ2
r: ϭ
ϭ
2
3
1

a) Sea AЈ(x, y, z ) el punto sime´trico de A. P es el
punto medio del segmento de extremos A y AЈ.
Por tanto:

xϩ2
yϩ1
ϭ Ϫ2,
ϭ 1,
2
2
AЈ(Ϫ6, 1, Ϫ3)

Los puntos A (1, 2,Ϫ1), B (0, 1, 1) y C (Ϫ1, 0, 2)
son puntos del plano.
Por tanto: ␣(A, AB, AC)

r ϭ a ϩ 3 · AP ϭ (Ϫ3, 4, 4) ϩ (3, 6, Ϫ3) ϭ
ϭ (0, 10, 1)

3.

a) Vector director de r : u (2, 1, 1)
Vector normal a ␣: v (1, 1, Ϫ1)

1
1
AB ϭ
(4, 8, Ϫ4) ϭ (1, 2, Ϫ1)
4
4

A

xϩ5 yϪ2 zϪ2
2
0
Ϫ1 ϭ 0
Ϫ1
Ϫ1
Ϫ5
x Ϫ 11y ϩ 2z ϩ 23 ϭ 0

8.

a) El punto N (2, 2, Ϫ3), punto medio del segmento
AC, debera´ ser tambie´n punto medio...