ejercicios gauss

Problemas de aplicación de la ley de Gauss
Problema 1
Una esfera de 5 cm está uniformente cargada con una densidad de carga de 1.2·10-5/π C/m3.
Calcular el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro, en el interior (r<5) y en el exterior (r>5) de la esfera cargada.
Calcular el potencial en el centro r=0, de la esfera.
 Solución

Distribución de carga con simetría esférica.
El campoeléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radior.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
∮E⋅dS=∮E⋅dS⋅cos0=E∮dS=E⋅4πr2
Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss
∮E⋅dS=qε0   E=q4πε0r2 

Para r<5 cm
q=1.2⋅10−5π43πr3=1.6⋅10−5r3  E=144 000⋅r N/CPara r>5 cm
q=1.2⋅10−5π43π(0.05)3=2⋅10−9  E=18r2 N/C
Gráfica del campo

Potencial
V=∫0∞E⋅dr=∫00.05144 000 r⋅dr+∫0.05∞18r2⋅dr=540 V
Problema 2
Un cilindro muy largo, macizo, de 5 cm de radio está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·10-6 C/m3.
Determinar, razonadamente, la expresión del campo eléctrico dentro y fuera del cilindro.
Determinar la diferencia depotencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a 15 cm del mismo.
 Solución
Distribución de carga con simetría cilíndrica.

El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L.        
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=∫E⋅dS⋅cos0=E∫dS=E⋅2πrLbase inferior ∫E⋅dS=0 E⊥S2base superior ∫E⋅dS=0 E⊥S1 ∮E⋅dS=E⋅2πrL
Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss
∮E⋅dS=qε0   E=q2πε0rL 

Para r<5 cm
q=4⋅10−6πr2L=4π⋅10−6r2L  E=72 000π⋅r N/C

Para r>5 cm
q=4⋅10−6π(0.05)2L=π⋅10−8L  E=180πr N/C
Gráfica del campo

Diferencia de potencialV0−V15=∫00.15E⋅dr=∫00.0572 000 πr⋅dr+∫0.050.15180πr⋅dr=90π(1+2ln3) V
Problema 3

Una placa plana, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de σ=2/π 10-9 C/m2.
Calcular el módulo del campo eléctrico.
Hallar la diferencia de potencial entre dos puntos situados a 1 cm y 8 cm de la placa
 Solución
Distribución de carga con simetría plana.
El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular elflujo tomamos una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.
    
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=0 E⊥dSbase izquierda ∫E⋅dS=E⋅S1=ESbase derecha ∫E⋅dS=E⋅S2=ES ∮E⋅dS=2E⋅S
Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss∮E⋅dS=qε0   E=q2Sε0 
Es la carga que hay en la porción de placa de área S marcada en color rojo es q=σ·S
E=σ2ε0=36 N/C
Gráfica del campo

Diferencia de potencial
V1−V8=∫0.010.08E⋅dr=∫0.010.0836 ⋅dr=2.52 V
Problema 4

Una placa plana, indefinida de espesor 2d=2 cm, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de ρ=2 10-8 C/m3.
Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en el exterior de dichaplaca.
Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa.
Hallar la diferencia de potencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punto situado a 5 cm de dicho plano.
 Solución
Distribución de carga con simetría plana.
El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilíndricacuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.        

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=0 E⊥dSbase izquierda ∫E⋅dS=E⋅S1=ESbase derecha ∫E⋅dS=E⋅S2=ES ∮E⋅dS=2E⋅S
Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de...