Ensayo

ECUACIONES SEPARABLES

La ecuación y’=f(x, y) es separable si f puede ser expresada como el producto de una función de x y una función de y. La ecuación diferencial tiene entonces la forma
Dy/dx=g(x)h(y).
Si h(y)≠0, podemos separar las variables dividiendo ambos ambos lados entre h y multiplicándolos por dx , para tener
1/h (y) dy=g(x)dx.
Así los términos en y con dy quedan agrupados a laizquierda, y los términos en x con dx, a la derecha. Al integrar en ambos lados, tenemos
∫ 1/h (y) dy=∫ g(x)dx
La ecuación integrada nos da la solución buscada, expresando y explícita oimplícitamente como función de x, salvo por una constante arbitraria.

Ejemplo:
Xdy/dx= xᶺ2 +3y, x>0
Solución: xdy/dx=xᶺ2 +3y
dy/dx= x +3/x y divide entre x
dy/dx – 3/xy= x

ECUACIONESEXACTAS

Dada la función z=f(x, y), se dice que la expresión dz=fxdx+fydy es su diferencial total.
Donde fx y fy son las derivadas parciales de la función f(x, y), con respecto a cada una de lasdos variables independientes; además, suponemos que esta derivadas parciales son continuas en una región r del plano x, y.
Ejemplo
z=ex/y
dz=(1yex/y+y)dx-(x/y2) ex/y-x) dy
Es una diferencialtotal

ECUACIONES HOMOGENEAS

Es una ecuación que se puede. Escribir en la forma
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
Donde P y Q son puede convertir en ecuaciones separables haciendo la sustitución
y=xv, dondev=g(x)
para alguna función g. Para comprobar este hecho, derivamos, obteniendo así:
dy= vdx+xdv
Sustituyendo xv en lugar de y obtenemos
P(x, xv) dx+Q(x, xv) (vdx+xdv)=0
Si P y Q son funcioneshomogéneas de grado n, entonces
P(x, xv)=x^nP (1, v) y Q(x, xv)= x^nQ (1, v)
Sustituyendo esto en la ecuación. Diferencial anterior y dividiendo ambos lados por x^n, obtenemos
P (1, v) dx+Q (1,v) (vdx+xdv) =0
Esta ecuación se puede escribir en la forma separable
1/x dx+Q (1, v)/P (1, v)+vQ (1, v) dv=0
Siempre y cuando los denominadores sean diferentes de cero. Hemos demostrado que si...